Seja f:[0, infty) R uma função que admite transformada de Laplace. Mostre que:
Se f^prime(t) e f^prime prime(t) são seccionalmente contínuas em [0, infty) e de ordem exponencial então L[f^prime prime(t)]=s^2 cdot F(s)-s cdot f(0)-f^prime(0), em que F(s) é a transformada de Laplace de f(t).

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre Transformada de Laplace, especificamente mostrando como calcular a transformada da segunda derivada de uma função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
f(t)

Passo 3

Sabemos que existe uma propriedade da Transformada de Laplace que relaciona a transformada de uma derivada de $ f(t) $. Para a primeira derivada, temos:
f(t)
Isso significa que a transformada da primeira derivada depende da transformada original $ F(s) $ e do valor inicial $ f(0) $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa propriedade para a segunda derivada $ f’’(t) $. Utilizando a propriedade da derivada novamente, mas agora para $ f’(t) $, temos:
f''(t)

Passo 5

Substituímos a expressão da transformada da primeira derivada que já conhecemos:
Lf''(t) = s ( sF(s) - f(0) ) - f'(0)

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão expandindo os termos:
Lf''(t) = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)

Resposta

L[f''(t)] = s^2 cdot F(s) - s cdot f(0) - f^prime(0)

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