Seja
uma função que admite transformada de Laplace. Mostre que:
Se
e
são seccionalmente contínuas em
e de ordem exponencial então
, em que
é a transformada de Laplace de
.
Se
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre Transformada de Laplace, especificamente mostrando como calcular a transformada da segunda derivada de uma função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
Passo 3
Sabemos que existe uma propriedade da Transformada de Laplace que relaciona a transformada de uma derivada de $ f(t) $. Para a primeira derivada, temos:
Isso significa que a transformada da primeira derivada depende da transformada original $ F(s) $ e do valor inicial $ f(0) $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa propriedade para a segunda derivada $ f’’(t) $. Utilizando a propriedade da derivada novamente, mas agora para $ f’(t) $, temos:
Passo 5
Substituímos a expressão da transformada da primeira derivada que já conhecemos:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão expandindo os termos: