Seja f(x)=cos x^3-x. Mostre que esta função se anula em algum número positivo.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=cosl(x^3r)-x
e pede para mostrar que existe ao menos um x>0 tal que f(x)=0. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (continuidade + sinais opostos).

Passo 2

Mostramos que f é contínua em R, pois é combinação de funções contínuas ( cos e polinômio). Em seguida calculamos
f(0)=cos(0^3)-0=cos(0)-0=1>0,
f(1)=cos(1^3)-1=cos(1)-1
Como cos(1)in(0,1), segue que cos(1)-1<0. Logo f(1)<0.

Passo 3

Tendo f(0)>0 e f(1)<0, pela continuidade de f no intervalo [0,1] o Teorema do Valor Intermediário garante que existe algum cin(0,1) tal que
f(c)=0

Resposta

Existe ao menos um número positivo c (de fato em (0,1)) tal que cos(c^3)-c=0.

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