Seja f(x, y, z)=x^{2} y^{4} z^{3}+x y+z^{2}+1. Determine
f_{x}(1,2,3)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}y^{4}z^{3}+xy+z^{2}+1
e pede a derivada parcial de f em relação a x, avaliada no ponto (1,2,3). Vamos usar as regras de derivação em funções de várias variáveis, aplicando a regra do poder e a derivada de produto.

Passo 2

Para calcular \displaystyle f_{x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}, derivamos termo a termo:
  • \partial/\partial x de x^{2}y^{4}z^{3} é 2x\,y^{4}z^{3}.
  • \partial/\partial x de xy é y.
  • Os termos z^{2} e 1 não dependem de x e têm derivada zero.
    Logo,
f_{x}(x,y,z)=2x\,y^{4}z^{3}+y.

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y,z)=(1,2,3):
f_{x}(1,2,3) =2\cdot1\cdot2^{4}\cdot3^{3}+2 =2\cdot16\cdot27+2 =864+2 =866.

Resposta

866

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