Seja f(x, y, z)=x^{2} y^{4} z^{3}+x y+z^{2}+1. Determine
f_{y}(1,2,3)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}y^{4}z^{3}+x y+z^{2}+1
e pede a derivada parcial de f em relação a y no ponto (1,2,3). Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando x e z como constantes e aplicando a regra de potência.

Passo 2

Calculemos \displaystyle f_{y}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial y}.
Para o termo x^{2}y^{4}z^{3}, x^{2}z^{3} é constante e
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{4}z^{3}\bigr) = x^{2}z^{3}\cdot 4y^{3} =4x^{2}y^{3}z^{3}.
Para o termo x y, temos
\frac{\partial}{\partial y}(x y)=x.
E os termos z^{2} e 1 não dependem de y, logo derivam zero. Assim,
f_{y}(x,y,z)=4x^{2}y^{3}z^{3}+x.

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y,z)=(1,2,3):
f_{y}(1,2,3) =4\cdot1^{2}\cdot2^{3}\cdot3^{3}+1 =4\cdot8\cdot27+1 =864+1 =865.

Resposta

865

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