Calcular os seguintes limites:
(1.0 p) lim x -infty raizx^2+x-1-raizx^2-x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -inftyl(raizx^2 + x - 1; -; raizx^2 - x + 1r). O conteúdo é limite de expressão com radicais quando xto -infty, e vamos precisar usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) e também saber que para xto -infty, |x| = -x.

Passo 2

Para eliminar a diferença de radicais, multiplicamos e dividimos pelo conjugado. Assim temos:
raizx^2+x-1-raizx^2 -x+1 =(raizx^2+x-1-raizx^2 -x+1)(raizx^2+x-1+raizx^2 -x+1)raizx^2+x-1+raizx^2 -x+1 =(x^2+x-1)-(x^2 -x+1)raizx^2+x-1+raizx^2 -x+1 =2x-2raizx^2+x-1+raizx^2 -x+1

Passo 3

Agora fatoramos x^2 dentro das raízes e usamos |x|=-x para xto -infty:
raizx^2+x-1=|x|raiz1+tfrac1x-tfrac1x^2=-xraiz1+tfrac1x-tfrac1x^2,
raizx^2 -x+1=-xraiz1-tfrac1x+tfrac1x^2
Logo o denominador fica
raizx^2+x-1+raizx^2 -x+1=-xl(raiz1+tfrac1x-tfrac1x^2+raiz1-tfrac1x+tfrac1x^2r)
Substituindo em tfrac2x-2dots e escrevendo 2x-2=2x(1-tfrac1x), obtemos
2x-2raizx^2+x-1+raizx^2 -x+1 =2xl(1-tfrac1xr)-xl(raiz1+tfrac1x-tfrac1x^2+raiz1-tfrac1x+tfrac1x^2r) =-21-tfrac1xraiz1+tfrac1x-tfrac1x^2+raiz1-tfrac1x+tfrac1x^2

Passo 4

Para xto -infty, temos 1-tfrac1xto1 e cada raiz1pmtfrac1x+O(1/x^2)to1. Então o denominador dentro do fator tende a 1+1=2. Logo o limite vale
-2cdot12=-1

Resposta

-1

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