Seja
a variável que representa a percentagem de álcool num certo composto, onde
é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
Suponha que o preço de venda do composto depende do conteúdo em álcool: se
o preço é
Euros por litro; caso contrário o preço é de
Euros por litro. Supondo que o custo de produção é igual a
Euros por litro, determine o valor esperado do lucro líquido por litro.
Passo 1
Beleza, o enunciado nos diz que temos uma variável contínua X em [0,1] com densidade
A gente vende 1 litro do composto por um preço que depende de X:
- se
- caso contrário, preço é
O custo de produção é
€/L.
O que pedem é o valor esperado do lucro líquido por litro, isto é
O que pedem é o valor esperado do lucro líquido por litro, isto é
Para resolver isso, vamos precisar:
- Calcular
e integrando a densidade. - Montar
. - Subtrair
.
Passo 2
Vamos achar
Para isso, primeiro integramos o polinômio:
Logo
Agora calcula cada pedaço:
- Para
- Para
Logo
Passo 3
A probabilidade complementar (fora do intervalo) é
$$P\bigl(X\le\tfrac13\ ou\ X\ge\tfrac23\bigr)
=1-\frac{101}{243}=\frac{142}{243}.$$
Passo 4
Com isso, a esperança do preço de venda é
Então o lucro líquido médio por litro é
Resposta
O valor esperado do lucro líquido por litro é