Seja Y=100 X a variável que representa a percentagem de álcool num certo composto, onde X é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
fX(x)= 20 x^3(1-x) & , 0 <= x<1 0 & , caso contrário á
Suponha que o preço de venda do composto depende do conteúdo em álcool: se 13 o preço é C1 Euros por litro; caso contrário o preço é de C2 Euros por litro. Supondo que o custo de produção é igual a C3 Euros por litro, determine o valor esperado do lucro líquido por litro.

Passo 1

Beleza, o enunciado nos diz que temos uma variável contínua X em [0,1] com densidade
fX(x)=20,x^3(1-x),
A gente vende 1 litro do composto por um preço que depende de X:
- se tfrac13, preço é C1 €/L,
- caso contrário, preço é C2 €/L.
O custo de produção é C3 €/L.
O que pedem é o valor esperado do lucro líquido por litro, isto é
E[lucro] ;=; E[preço - C3] = E[preço] - C3, çç
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Calcular Pl(tfrac13 e Pl(X<=tfrac13 ou X>=tfrac23r) integrando a densidade.
  2. Montar E[preço]=C1,P(tfrac13çá.
  3. Subtrair C3.

Passo 2

Vamos achar
Pl(tfrac13
Para isso, primeiro integramos o polinômio:
integral 20l(x^3 - x^4r),dx =20l(x^44-x^55r) =5x^4 - 4x^5
Logo
Pl(tfrac13
Agora calcula cada pedaço:
- Para x=2/3:
5,(16/81)-4,(32/243)=80/81-128/243=(240-128)/243=112/243.
- Para x=1/3:
5,(1/81)-4,(1/243)=5/81-4/243=(15-4)/243=11/243.
Logo
Pl(tfrac13

Passo 3

A probabilidade complementar (fora do intervalo) é
$$P\bigl(X\le\tfrac13\ ou\ X\ge\tfrac23\bigr)
=1-\frac{101}{243}=\frac{142}{243}.$$

Passo 4

Com isso, a esperança do preço de venda é
E[preço] = C1cdot101243;+;C2cdot142243 ç
Então o lucro líquido médio por litro é
E[lucro] =E[preço]-C3 =;C1101243+C2142243;-;C3 ç

Resposta

O valor esperado do lucro líquido por litro é
boxed,101243,C1;+;142243,C2;-;C3, Euros

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