Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada pelo mercado é uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade
fX(x)=lll 1+k+x & , & -1 <= x<0 1+k-x & , & 0 <= x<1 0 & , & restantes valores de x
Calcule P(X <=-0.5), P(X>0.5) e P(-0.5.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que rolou aí.
Enunciado: Temos uma variável aleatória contínua fX(x)= 1+k+x, & -1<= x<0, 1+k-x, & 0<= x<1, 0, & caso contrário que mede o desvio de peças, com densidade
P(X<= -0.5), P(X>0.5)e P(-0.5á
Queremos calcular
Conteúdo: densidade de probabilidade contínua e cálculo de probabilidades via integração. Antes de qualquer coisa, precisamos achar usando a condição
.

Passo 2

Achar integral-infty^inftyfX(x),dx=1 .
Teoria usada: para qualquer densidade contínua integral-1^0(1+k+x),dx;+;integral0^1(1+k-x),dx ;=;1 ,
(k+tfrac12)+(k+tfrac12)=2k+1=1 Longrightarrow 2k=0 Longrightarrow k=0
Aqui só existe densidade em , então
Calculemos cada uma:

  1. Somando:

Passo 3

Calcular P(X<= -0.5) =integral-1^-0.5(1+x),dx =l[x+tfracx^22r]-1^-0.5 =l(-0.5+tfrac0.252r)-l(-1+tfrac12r) =(-0.5+0.125)-(-0.5) =-0.375+0.5 =0.125 .
Teoria: para variável contínua, .
Aqui fica em , e para a densidade é (pois ).

Passo 4

Calcular P(X>0.5) =integral0.5^1(1-x),dx =l[x-tfracx^22r]0.5^1 =l(1-tfrac12r)-l(0.5-tfrac0.252r) =0.5-(0.5-0.125) =0.5-0.375 =0.125 .
Para , . Então

Passo 5

Calcular .
Podemos usar que a soma das três partes dá 1, mas vamos integrar mesmo:
  1. de a :
  2. de a :

    Somando:

Resposta

P(X ≤ –0.5) = 0.125
P(X > 0.5) = 0.125
P(–0.5 < X ≤ 0.5) = 0.75

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