Seja X: N(1200,1444). Retiramos uma amostra de tamanho 15. Determinar:
a) P(1194<\bar{x}<1206)
b) P\left(\bar{x}-Z_{\alpha} \sigma_{\bar{x}} \leq \mu \leq \bar{x}+Z_{\alpha} \sigma_{\bar{x}}\right)=0,90

Passo 1

O enunciado diz que X\sim N(\mu=1200,\sigma^2=1444) e que extraímos uma amostra de tamanho n=15. Precisamos usar a distribuição da média amostral, que, por ser população normal, é
\bar X \sim N\bigl(\mu,\;\sigma^2_{\bar X}\bigr),
onde \sigma^2_{\bar X}=\sigma^2/n.

Passo 2

Calculemos o desvio-padrão da média amostral:
\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{38}{\sqrt{15}} \approx9{,}812.

Passo 3

Para a) queremos
P\bigl(1194<\bar X<1206\bigr).
Padronizando em Z\sim N(0,1),
Z_1=\frac{1194-1200}{9{,}812}\approx-0{,}612, \quad Z_2=\frac{1206-1200}{9{,}812}\approx0{,}612,
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P\bigl(1194<\bar X<1206\bigr) =P\bigl(-0{,}612<Z<0{,}612\bigr).

Passo 4

Usando a função de distribuição padrão \Phi,
P(-0{,}612<Z<0{,}612) =\Phi(0{,}612)-\Phi(-0{,}612) =2\,\Phi(0{,}612)-1 \approx2\cdot0{,}7305-1 =0{,}4610.

Passo 5

Para b) queremos achar Z_{\alpha} tal que
P\bigl(\bar X - Z_{\alpha}\,\sigma_{\bar X}\le\mu\le\bar X + Z_{\alpha}\,\sigma_{\bar X}\bigr)=0{,}90.
Isso equivale a
P(-Z_{\alpha}<Z<Z_{\alpha})=0{,}90 \implies 2\,\Phi(Z_{\alpha})-1=0{,}90 \implies \Phi(Z_{\alpha})=0{,}95
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Z_{\alpha}=\Phi^{-1}(0{,}95)\approx1{,}645.

Resposta

(a) P(1194<\bar X<1206)\approx0{,}4610.
(b) Z_{\alpha}=\Phi^{-1}(0{,}95)\approx1{,}645.

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