Cerca de 75 \% de todos os pacientes que tem corações femininos transplantados vão sobreviver por no mínimo três anos. Noventa pacientes com corações femininos transplantados são escolhidos aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que a proporção de amostra para a sobrevivência por no mínimo três anos seja menor que 70 \% ?

Passo 1

O enunciado diz que a proporção populacional de pacientes que sobrevivem pelo menos três anos é p=0,75. Selecionamos n=90 pacientes e queremos
P\bigl(\hat p<0,70\bigr),
onde \hat p é a proporção amostral. O conteúdo envolvido é a distribuição amostral de proporção e o uso do Teorema do Limite Central.

Passo 2

Pela aproximação normal para proporções, temos
\hat p \approx N\!\Bigl(p,\;\sigma_{\hat p}\Bigr),
com
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p\,(1-p)}{n}}.

Passo 3

Substituindo p=0,75 e n=90:
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{0,75\,(1-0,75)}{90}} = \sqrt{\frac{0,75\times0,25}{90}} \approx 0,0457.
Assim, \mathrm{E}(\hat p)=0,75 e \mathrm{sd}(\hat p)\approx0,0457.

Passo 4

Para calcular P(\hat p<0,70), padronizamos:
z = \frac{0,70 - 0,75}{0,0457} \approx -1,095.
Logo,
P(\hat p<0,70) = P\bigl(Z < -1,095\bigr)\approx 0,137,
onde Z é uma N(0,1).

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,137.

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