Sejam R e \Theta v.a.'s independentes de modo que R tem densidade de Rayleigh:
f_{R}(r)=\left\{\begin{array}{cc} \sigma^{-2} r e^{-r^{2} / 2 \sigma^{2}}, & r \geq 0 \\\\ 0, & r<0 \end{array}\right.
e \Theta se distribui uniformemente em \Theta \sim U(-\pi, \pi). Mostre que se X=R \cos \Theta e Y=R \operatorname{sen} \Theta são v.a.'s independentes e que cada uma tem densidade normal N\left(0, \sigma^{2}\right).
Passo 1
O enunciado diz que temos duas v.a.'s independentes R\) e \(\Theta\), com
\[f_{R}(r)= \begin{cases} \sigma^{-2}\,r\,e^{-r^{2}/(2\sigma^{2})},&r\ge0,\\\\ 0,&r<0, \end{cases}
e \Theta\sim U(-\pi,\pi)\]. Definimos
\[X=R\cos\Theta,\quad Y=R\sin\Theta.\]
O que faremos é usar a transformação de variáveis de coordenadas polares para cartesianas, calcular a densidade conjunta de \((X,Y) via jacobiano e mostrar que ela se fatoriza em duas normais N(0,\sigma^2).
Passo 2
Como R e \Theta são independentes, a densidade conjunta é
Isso mostra que a densidade conjunta se fatoriza em produto das densidades de X e Y, cada uma \displaystyle N(0,\sigma^{2}), e portanto X e Y são independentes.
Resposta
As variáveis X e Y são independentes e cada uma segue N(0,\sigma^{2}).