Sejam R e \Theta v.a.'s independentes de modo que R tem densidade de Rayleigh:
f_{R}(r)=\left\{\begin{array}{cc} \sigma^{-2} r e^{-r^{2} / 2 \sigma^{2}}, & r \geq 0 \\\\ 0, & r<0 \end{array}\right.
e \Theta se distribui uniformemente em \Theta \sim U(-\pi, \pi). Mostre que se X=R \cos \Theta e Y=R \operatorname{sen} \Theta são v.a.'s independentes e que cada uma tem densidade normal N\left(0, \sigma^{2}\right).

Passo 1

O enunciado diz que temos duas v.a.'s independentes R\) e \(\Theta\), com \[f_{R}(r)= \begin{cases} \sigma^{-2}\,r\,e^{-r^{2}/(2\sigma^{2})},&r\ge0,\\\\ 0,&r<0, \end{cases}
e \Theta\sim U(-\pi,\pi)\]. Definimos \[X=R\cos\Theta,\quad Y=R\sin\Theta.\] O que faremos é usar a transformação de variáveis de coordenadas polares para cartesianas, calcular a densidade conjunta de \((X,Y) via jacobiano e mostrar que ela se fatoriza em duas normais N(0,\sigma^2).

Passo 2

Como R e \Theta são independentes, a densidade conjunta é
f_{R,\Theta}(r,\theta) =f_{R}(r)\,f_{\Theta}(\theta) =\frac{r}{\sigma^{2}}e^{-r^{2}/(2\sigma^{2})}\;\frac1{2\pi},
válida para r\ge0 e \theta\in(-\pi,\pi).

Passo 3

Fazendo a mudança de variáveis
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
temos o inverso
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \theta=\atan2(y,x),
e o jacobiano em módulo
\bigl|\det J\bigr| =\begin{vmatrix} \partial r/\partial x & \partial r/\partial y\\\ \partial \theta/\partial x & \partial \theta/\partial y \end{vmatrix} =\frac1r.
Logo a densidade conjunta de (X,Y) é
f_{X,Y}(x,y) =f_{R,\Theta}\bigl(r(x,y),\theta(x,y)\bigr)\;\frac1r =\frac{r}{\sigma^{2}}e^{-r^{2}/(2\sigma^{2})}\;\frac1{2\pi}\;\frac1r =\frac{1}{2\pi\,\sigma^{2}}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}}.

Passo 4

Reescrevendo
f_{X,Y}(x,y) =\frac{1}{2\pi\sigma^{2}} e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}} e^{-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}}} =\Bigl[\tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}\Bigr] \;\Bigl[\tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}}}\Bigr].
Isso mostra que a densidade conjunta se fatoriza em produto das densidades de X e Y, cada uma
\displaystyle N(0,\sigma^{2}), e portanto X e Y são independentes.

Resposta

As variáveis X e Y são independentes e cada uma segue N(0,\sigma^{2}).

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