Seja f:(0, pi / 16) R, tal que sen(2 x)30 x <= f(x) <= sec (8 x)15 para todo x in(0, pi / 16). Podemos afirmar a respeito dos limites lim x 0^+ f(x) e lim x 0^+ x f(x), respectivamente, que:
O primeiro é indeterminado, não conseguimos saber só com os dados do problema. O segundo é 0 , pois x 0.

Passo 1

No enunciado temos a função f definida em (0,π/16) com a dupla desigualdade
sin(2x)30x <= f(x) <= sec(8x)15
e queremos os limites limxto0^+f(x) e limxto0^+x,f(x). O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (ou da Compressão) e limites de funções trigonométricas para argumentos pequenos.

Passo 2

Para o limite inferior, usamos o fato de que limuto0sin uu=1. Observe que
sin(2x)30x = sin(2x)2xcdot230 = sin(2x)2xcdot115
e portanto
limxto0^+sin(2x)30x = 1cdot115 = 115

Passo 3

Para o limite superior, usamos que limyto0cos y=1, logo limyto0sec y=1. Assim,
limxto0^+sec(8x)15 = 115

Passo 4

Como ambos os limites das funções que “confrontam” f(x) são iguais a 1/15, pelo Teorema do Confronto concluímos
limxto0^+f(x)=115

Passo 5

Para limxto0^+x,f(x), basta notar que f(x) tende a 1/15 e portanto é limitada próximo de zero. Então
limxto0^+x,f(x)=0cdot115=0

Resposta

limxto0^+f(x)=115 e limxto0^+x,f(x)=0.

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