Seja f:(0, pi / 16) R, tal que sen(2 x)30 x <= f(x) <= sec (8 x)15 para todo x in(0, pi / 16). Podemos afirmar a respeito dos limites lim x 0^+ f(x) e lim x 0^+ x f(x), respectivamente, que:
Ambos os limites são iguais a 0.

Passo 1

O enunciado fala de uma função f:(0,pi/16)to R que satisfaz
x>0
para todo limuto0sin(u)u=1 próximo de zero. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) de limites, usando também as relações básicas:
limuto0cos(u)=1
limxto0^+f(x)
A partir daí vamos achar limxto0^+x,f(x) e .

Passo 2

Vamos calcular primeiro o limite das expressões que enfileiram f(x):
limxto0^+sin(2x)30x = 130limxto0^+sin(2x)x = 130cdot2=115
Aqui usei u=2x em sin(u)/uto1.
limxto0^+sec(8x)15 = 115limxto0^+1cos(8x) = 115cdot1=115
Como as duas fronteiras tendem a 1/15, o Teorema do Confronto dá

Passo 3

Para limxto0^+x,f(x) podemos usar de novo confronto:
sin(2x)to0
e
xto0
pois e . Logo

Resposta

limxto0^+f(x)=115 e limxto0^+x,f(x)=0.

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