O perímetro do círculo máximo de uma esfera é de 34 cm , com erro possível de 0,5 cm. Sendo S(r)=4 pi r^2 a função que resulta na área da superficie de uma esfera. Use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da área da superfície.
Observação: A resposta deve contar 2 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera onde o perímetro do círculo máximo é 34 cm, com uma possível variação de 0,5 cm. Queremos descobrir qual é o erro máximo na área da superfície dessa esfera usando diferenciais. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria das esferas e como os diferenciais funcionam para estimar erros em cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o perímetro (ou circunferência) do círculo máximo de uma esfera é dado por , onde é o raio da esfera. A área da superfície da esfera é dada por . Nosso objetivo é encontrar como uma pequena variação no perímetro ( ) afeta a área da superfície ( ).

Passo 3

Vamos começar isolando o raio C = 2pi r implies r = C2pi na fórmula do perímetro:
S(C) = 4pi ( C2pi )^2 = 4pi ( C^24pi^2 ) = C^2pi
Agora que temos o raio em termos do perímetro, podemos substituir na fórmula da área da superfície para expressar em função de :

Passo 4

Para encontrar como uma variação no perímetro ( dSdC = 2Cpi ) afeta a área ( dS = 2Cpi dC ), vamos usar diferenciais. Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Então, o diferencial de é:
Aqui, representa a variação na área, e é a variação no perímetro.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que temos. Sabemos que De cm e cm. Vamos usar esses valores para encontrar :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o valor numérico de De:

Resposta

O erro máximo no cálculo da área da superfície é aproximadamente 10,82 cm².

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