O perímetro do círculo máximo de uma esfera é de 34 cm , com erro possível de
. Sendo
a função que resulta na área da superficie de uma esfera. Use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da área da superfície.
Observação: A resposta deve contar 2 casas decimais.
Observação: A resposta deve contar 2 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera onde o perímetro do círculo máximo é 34 cm, com uma possível variação de 0,5 cm. Queremos descobrir qual é o erro máximo na área da superfície dessa esfera usando diferenciais. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria das esferas e como os diferenciais funcionam para estimar erros em cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o perímetro (ou circunferência) do círculo máximo de uma esfera é dado por
, onde
é o raio da esfera. A área da superfície da esfera é dada por
. Nosso objetivo é encontrar como uma pequena variação no perímetro (
) afeta a área da superfície (
).
Passo 3
Vamos começar isolando o raio
na fórmula do perímetro:
Agora que temos o raio em termos do perímetro, podemos substituir
na fórmula da área da superfície para expressar
em função de
:
Passo 4
Para encontrar como uma variação no perímetro (
) afeta a área (
), vamos usar diferenciais. Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Então, o diferencial de
é:
Aqui,
representa a variação na área, e
é a variação no perímetro.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que temos. Sabemos que
cm e
cm. Vamos usar esses valores para encontrar
:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o valor numérico de
:
Resposta
O erro máximo no cálculo da área da superfície é aproximadamente 10,82 cm².