Seja
uma função de duas variáveis.
Encontre os pontos críticos de
.
Encontre os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e diferenciamos com respeito a
.
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante e diferenciamos com respeito a
.
Simplificando:
Passo 4
Pontos críticos ocorrem quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Vamos começar isolando uma das variáveis na primeira equação. Da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 6
Simplificando a equação:
Multiplicamos todos os termos por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Dividindo toda a equação por -3 para simplificar:
Vamos fazer uma substituição:
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
ou
, o que significa que
ou
. Portanto,
ou
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de
usando
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os pontos críticos da função
são
,
,
e
.