Seja f(x, y)=18 x-3 x^2 y+30 y-y^3+40 uma função de duas variáveis.
Encontre os pontos críticos de f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = ddx(18x) - ddx(3x^2y) + ddx(30y) - ddx(y^3) + ddx(40) em relação a partial fpartial x = 18 - 6xy + 0 - 0 + 0 = 18 - 6xy . Isso significa que tratamos como uma constante e diferenciamos com respeito a .
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = ddy(18x) - ddy(3x^2y) + ddy(30y) - ddy(y^3) + ddy(40) em relação a partial fpartial y = 0 - 3x^2 + 30 - 3y^2 + 0 = -3x^2 + 30 - 3y^2 . Aqui, tratamos como uma constante e diferenciamos com respeito a .
Simplificando:

Passo 4

Pontos críticos ocorrem quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
18 - 6xy = 0 -3x^2 + 30 - 3y^2 = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 5

Vamos começar isolando uma das variáveis na primeira equação. Da primeira equação:
18 - 6xy = 0 implies 6xy = 18 implies xy = 3 implies y = 3x
Agora, substituímos -3x^2 + 30 - 3( 3x )^2 = 0 na segunda equação:

Passo 6

Simplificando a equação:
-3x^2 + 30 - 3( 9x^2 ) = 0 implies -3x^2 + 30 - 27x^2 = 0
Multiplicamos todos os termos por -3x^4 + 30x^2 - 27 = 0 para eliminar o denominador:

Passo 7

Dividindo toda a equação por -3 para simplificar:
x^4 - 10x^2 + 9 = 0
Vamos fazer uma substituição: z^2 - 10z + 9 = 0 , então a equação fica:
z = 10 pm raiz100 - 362 = 10 pm raiz642 = 10 pm 82
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou , o que significa que ou . Portanto, ou .

Passo 8

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de y = 33 = 1 usando y = 3-3 = -1 :
  • Para y = 31 = 3 :
y = 3-1 = -3
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os pontos críticos da função são , , e .

Exercícios relacionados