Ao aplicarmos a substituição u=x-1 na integral I=integral0^1 2024 x(x-1)^2023 d x, obtemos:
а) I=-12024 cdot 2025;
b) I=-12025;
c) I=0;
d) I=12024 cdot 2025
e) I=12025.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: $ I = \int_{0}^{1} 2024 , x , (x-1)^{2023} , dx $. A matéria envolvida aqui é integração por substituição, uma técnica que facilita resolver integrais complicadas. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição de variável, que foi sugerida como $ u = x - 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa substituição. Seja $ u = x - 1 $. Isso significa que $ x = u + 1 $. Precisamos também mudar os limites de integração para $ u $.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para encontrar $ dx $.
u

Passo 4

Vamos ajustar os limites de integração. Quando $ x = 0 $:
x = 0
E quando $ x = 1 $:
u = 0 - 1 = -1
Então, nossos novos limites são de $ u = -1 $ a $ u = 0 $.

Passo 5

Substituímos tudo na integral original:
I = integral-1^0 2024 , (u + 1) , u^2023 , du

Passo 6

Vamos distribuir o $ (u + 1) $ dentro da integral:
(u + 1)

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
I = 2024 [ u^20252025 + u^20242024 ]-1^0

Passo 8

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para $ u = 0 $:
u = 0
Para $ u = -1 $:
0^20252025 + 0^20242024 = 0 + 0 = 0

Passo 9

Subtraindo os valores nos limites:
0 - ( -12025 + 12024 ) = 12025 - 12024

Passo 10

Calculando a diferença:
12025 - 12024 = 2024 - 20252024 cdot 2025 = -12024 cdot 2025

Passo 11

Multiplicando pelo 2024 que estava fora da integral:
I = 2024 cdot ( -12024 cdot 2025 ) = -12025

Resposta

A alternativa correta é a b) $ I = -\frac{1}{2025} $.

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