Ao aplicarmos a substituição
na integral
, obtemos:
а)
;
b)
;
c)
;
d)
e)
.
а)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: $ I = \int_{0}^{1} 2024 , x , (x-1)^{2023} , dx $. A matéria envolvida aqui é integração por substituição, uma técnica que facilita resolver integrais complicadas. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição de variável, que foi sugerida como $ u = x - 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa substituição. Seja $ u = x - 1 $. Isso significa que $ x = u + 1 $. Precisamos também mudar os limites de integração para $ u $.
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para encontrar $ dx $.
Passo 4
Vamos ajustar os limites de integração. Quando $ x = 0 $:
E quando $ x = 1 $:
Então, nossos novos limites são de $ u = -1 $ a $ u = 0 $.
Passo 5
Substituímos tudo na integral original:
Passo 6
Vamos distribuir o $ (u + 1) $ dentro da integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para $ u = 0 $:
Para $ u = -1 $:
Passo 9
Subtraindo os valores nos limites:
Passo 10
Calculando a diferença:
Passo 11
Multiplicando pelo 2024 que estava fora da integral:
Resposta
A alternativa correta é a b) $ I = -\frac{1}{2025} $.