Seja L^-1F(s)=f(t). Em cada caso abaixo, use o Teorema do Valor Final, quando possível, para obter o valor final f(infty) da função f(t). Explique porque é ou não possível o uso do Teorema.
F(s)=1s^2+1

Passo 1

O enunciado: temos a função de Laplace F(s)=1s^2+1, queremos o valor final f(infty) com o Teorema do Valor Final (TVF). O conteúdo envolve o TVF, que diz que, se limttoinftyf(t) existir e todos os polos de sF(s) (exceto talvez em s=0) tiverem parte real negativa, então

Passo 2

Para aplicar o TVF, calculamos sF(s)=dfracss^2+1. Os polos dessa função vêm de s^2+1=0, ou seja, s=pm j. Esses polos estão no eixo imaginário, não no semiplano esquerdo. Logo, a condição do TVF não é satisfeita e não podemos usar o teorema.

Passo 3

Para entender o comportamento de f(t), fazemos a inversa de Laplace: f(t)= L^-11/(s^2+1)=sin(t). Sabemos que sin(t) oscila indefinidamente e não converge a um limite quando ttoinfty. Portanto, não existe valor final.

Passo 4

Conclusão: não dá para usar o Teorema do Valor Final porque sF(s) tem polos no eixo imaginário, e de fato f(t)=sin(t) não tende a nenhum valor quando ttoinfty.

Resposta

Não é possível aplicar o Teorema do Valor Final (polos em s=pm j no eixo imaginário) e, como f(t)=sin(t) oscila, f(infty) não existe.

Exercícios relacionados