Obtenha a Transformada de Laplace Inversa abaixo.

Dica: Use completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento complexo visto em sala.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de 2s+3s^2-4s+20. Esse problema envolve completamento de quadrado no denominador e o uso do teorema do deslocamento complexo (shift em s).

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
s^2 - 4s + 20 = (s-2)^2 + 16 = (s-2)^2 + 4^2

Passo 3

Em seguida, reescrevemos o numerador em termos de s-2:
2s + 3 = 2(s-2) + 7

Passo 4

Assim, podemos separar a fração em duas partes:
2s+3(s-2)^2+4^2 = 2(s-2)(s-2)^2+4^2 + 7(s-2)^2+4^2

Passo 5

Agora usamos as transformadas conhecidas:
Le^2tcos(4t) = s-2(s-2)^2+4^2
Le^2tsin(4t) = 4(s-2)^2+4^2.

Passo 6

Para a primeira parte, multiplicamos por 2: 2cdots-2(s-2)^2+4^2 gera 2e^2tcos(4t). Para a segunda, escrevemos 7(s-2)^2+4^2 = 74cdot4(s-2)^2+4^2, o que gera 74e^2tsin(4t).

Passo 7

Somando os dois resultados, obtemos a solução final.

Resposta

e^2tl(2cos(4t)+tfrac74sin(4t)r)

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