1. Seja f(x, y)=1x^2+y^2. Verifique que f satisfaz as seguintes equações diferenciais parciais:
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=4(x^2+y^2)^2

Passo 1

A gente tem a função f(x,y)=1x^2+y^2 e quer mostrar que ela satisfaz a equação
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=4(x^2+y^2)^2
O que vamos precisar é aplicar a regra da cadeia e a regra do poder para derivadas parciais.

Passo 2

Pra achar as derivadas parciais de primeira ordem, reescrevo
f(x,y)=(x^2+y^2)^-1 e trato cada variável separadamente. Derivando em relação a x e y, obtemos:
fx=-2x,(x^2+y^2)^-2, fy=-2y,(x^2+y^2)^-2

Passo 3

Agora vou calcular as derivadas de segunda ordem. Para fxx aplico a regra do produto em fx=-2x,(x^2+y^2)^-2: a derivada de -2x é -2 e a de (x^2+y^2)^-2 vem da cadeia. Fazendo as contas:
fxx=-2,(x^2+y^2)^-2+(-2x)l(-2r)(x^2+y^2)^-3(2x)=-2(x^2+y^2)^-2+8x^2(x^2+y^2)^-3
Analogamente para fyy:
fyy=-2(x^2+y^2)^-2+8y^2(x^2+y^2)^-3

Passo 4

Por fim, somo fxx+fyy e simplifico:
fxx+fyy=-2(x^2+y^2)^-2-2(x^2+y^2)^-2+8(x^2+y^2)(x^2+y^2)^-3 = -4(x^2+y^2)^-2+8(x^2+y^2)^-2 =4(x^2+y^2)^-2
Isso confirma a relação exigida.

Resposta

4(x^2+y^2)^2

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