Determine os zeros aproximados do polinômio
usando o método de Newton e o algorítmo de Briot-Ruffini, com precisão
para pelo menos um dos zeros de
.
Passo 1
Enunciado e dados: Determinar os zeros aproximados do polinômio
usando o método de Newton e o algoritmo de Briot–Ruffini, com precisão
para pelo menos um dos zeros.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Precisamos apresentar os zeros aproximados (as raízes reais) e usar Newton para obter pelo menos uma raiz com precisão
. Em seguida usar Briot–Ruffini (divisão sintética) para reduzir o polinômio e obter as outras raízes.
Passo 2
Explicando o método de Newton (aula rápida e prática).
Fórmula do método de Newton para encontrar uma raiz de :
Fórmula do método de Newton para encontrar uma raiz de
O que cada coisa significa:
-
é a aproximação atual da raiz. -
é a nova aproximação (melhor). -
é o polinômio dado. -
é a derivada de (para o nosso polinômio calculamos explicitamente).
Critério de parada prático (usado aqui): parar quandocom . Dá para usar também , mas usaremos a diferença das iterações (mais comum em provas).
Para o nosso polinômio:
Antes de começar, identificamos intervalos onde há mudança de sinal (para escolher chutes iniciais razoáveis):
Conclusões rápidas: há uma raiz entre
e
, uma raiz entre
e
, e outra entre
e
(na verdade já vimos duas mudanças de sinal implicando 3 raízes reais). Vamos usar Newton para a raiz entre
e
(por ser mais fácil convergir) com chute inicial
.
Passo 3
Aplicando Newton para a raiz em
com
. Mostro cada iteração detalhadamente.
Iteração 0
1:
Calcule
e
:
Aplicando Newton:
Diferença
. Continuamos.
Iteração 1
2:
Diferença
. Continuamos.
Iteração 2
3:
Calcule
e
(vou mostrar arredondamentos controlados):
Correção de Newton:
Agora
. Ainda ligeiramente acima de
, então faço mais uma iteração.
Iteração 3
4:
Faço cálculo rápido de
:
Correção:
Diferença
. Portanto convergimos com tolerância
.
Conclusão desta parte (raiz obtida via Newton):
Passo 4
Verificação rápida do valor de
em
:
o que confirma que é realmente uma boa aproximação da raiz.
Agora usamos Briot–Ruffini (divisão sintética) para dividir o polinômio por
com
, obtendo um polinômio quadrático que dará as outras duas raízes.
Passo 5
Explicando o algoritmo de Briot–Ruffini (divisão sintética) de forma prática:
- Para dividir um polinômio por
usamos os coeficientes do polinômio e fazemos uma soma/ multiplicação sequencial: trazemos o primeiro coeficiente, multiplicamos por , somamos ao próximo coeficiente, multiplicamos o resultado por , e assim por diante. O último número obtido é o resto (aqui deve ser ~0 se for raiz). - Para o nosso polinômio os coeficientes (em ordem decrescente) são:
(para ), (para ), (para ), (constante).
Aplicando Briot–Ruffini com
:
Tabela (passo a passo):
- Trago
para a linha de baixo. - Multiplico
por : . Somo isso ao próximo coeficiente : resulta . - Multiplico
por : . Somo isso ao próximo coeficiente : resulta . - Multiplico
por : . Somo isso ao último coeficiente : resto (confirmando que é raiz).
Portanto os coeficientes do polinômio dividido (o quociente) são:
Ou seja, após dividir por
obtemos o quadrático
Passo 6
Resolver o quadrático
usando a fórmula quadrática. Relembrando a fórmula:
onde
.
Cálculo do discriminante:
Agora as duas raízes:
Cálculos finais:
- Com sinal
:
- Com sinal
:
Passo 7
Verificação rápida (avaliando
nos valores aproximados) — só para checar resíduos pequenos:
As aproximações são consistentes e, pelo procedimento, a raiz obtida por Newton (
) respeita a tolerância
. As outras duas raízes foram obtidas por divisão sintética seguida da fórmula quadrática e estão aproximadas ao mesmo nível de precisão prática.