Determine os zeros aproximados do polinômio P_{3}(x)=2 x^{3}-4 x+1 usando o método de Newton e o algorítmo de Briot-Ruffini, com precisão \varepsilon=0.001 para pelo menos um dos zeros de P_{3}(x).

Passo 1

Enunciado e dados: Determinar os zeros aproximados do polinômio \;P_{3}(x)=2x^{3}-4x+1\; usando o método de Newton e o algoritmo de Briot–Ruffini, com precisão \varepsilon=0{,}001 para pelo menos um dos zeros.
Informações relevantes fornecidas:
P_{3}(x)=2x^{3}-4x+1.
Precisamos apresentar os zeros aproximados (as raízes reais) e usar Newton para obter pelo menos uma raiz com precisão \varepsilon=0{,}001. Em seguida usar Briot–Ruffini (divisão sintética) para reduzir o polinômio e obter as outras raízes.

Passo 2

Explicando o método de Newton (aula rápida e prática).
Fórmula do método de Newton para encontrar uma raiz de P(x):
x_{n+1}=x_{n}-\frac{P(x_{n})}{P'(x_{n})}.
O que cada coisa significa:
  • x_{n} é a aproximação atual da raiz.
  • x_{n+1} é a nova aproximação (melhor).
  • P(x) é o polinômio dado.
  • P'(x) é a derivada de P (para o nosso polinômio calculamos explicitamente).
    Critério de parada prático (usado aqui): parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon com \varepsilon=0{,}001. Dá para usar também |P(x_n)|<\varepsilon, mas usaremos a diferença das iterações (mais comum em provas).
Para o nosso polinômio:
P(x)=2x^{3}-4x+1,
P'(x)=6x^{2}-4.
Antes de começar, identificamos intervalos onde há mudança de sinal (para escolher chutes iniciais razoáveis):
P(-2)=2(-8)-4(-2)+1=-16+8+1=-7,
P(-1)=2(-1)-4(-1)+1=-2+4+1=3,
P(0)=1,
P(1)=2-4+1=-1.
Conclusões rápidas: há uma raiz entre -2 e -1, uma raiz entre 0 e 1, e outra entre 1 e -2 (na verdade já vimos duas mudanças de sinal implicando 3 raízes reais). Vamos usar Newton para a raiz entre 0 e 1 (por ser mais fácil convergir) com chute inicial x_{0}=0{,}5.

Passo 3

Aplicando Newton para a raiz em (0,1) com x_{0}=0{,}5. Mostro cada iteração detalhadamente.
Iteração 0 \to 1:
x_{0}=0{,}5.
Calcule P(x_{0}) e P'(x_{0}):
P(0{,}5)=2(0{,}5)^{3}-4(0{,}5)+1=2(0{,}125)-2+1=0{,}25-2+1=-0{,}75,
P'(0{,}5)=6(0{,}5)^{2}-4=6(0{,}25)-4=1{,}5-4=-2{,}5.
Aplicando Newton:
x_{1}=0{,}5-\frac{-0{,}75}{-2{,}5}=0{,}5-\frac{0{,}75}{2{,}5}=0{,}5-0{,}3=0{,}2.
Diferença |x_{1}-x_{0}|=|0{,}2-0{,}5|=0{,}3>\varepsilon. Continuamos.
Iteração 1 \to 2:
x_{1}=0{,}2.
P(0{,}2)=2(0{,}2)^{3}-4(0{,}2)+1=2(0{,}008)-0{,}8+1=0{,}016-0{,}8+1=0{,}216,
P'(0{,}2)=6(0{,}2)^{2}-4=6(0{,}04)-4=0{,}24-4=-3{,}76.
x_{2}=0{,}2-\frac{0{,}216}{-3{,}76}=0{,}2+0{,}0574468\approx0{,}2574468.
Diferença |x_{2}-x_{1}|=|0{,}2574468-0{,}2|=0{,}0574468>\varepsilon. Continuamos.
Iteração 2 \to 3:
x_{2}\approx0{,}2574468.
Calcule P(x_{2}) e P'(x_{2}) (vou mostrar arredondamentos controlados):
x_{2}^{2}\approx0{,}066274,\quad x_{2}^{3}\approx0{,}017064,
P(x_{2})=2x_{2}^{3}-4x_{2}+1\approx2(0{,}017064)-4(0{,}2574468)+1
\phantom{P(x_{2})}\approx0{,}034128-1{,}0297872+1\approx0{,}0043408,
P'(x_{2})=6x_{2}^{2}-4\approx6(0{,}066274)-4\approx0{,}397644-4=-3{,}602356.
Correção de Newton:
\Delta x=\frac{P(x_{2})}{P'(x_{2})}\approx\frac{0{,}0043408}{-3{,}602356}\approx-0{,}001205,
x_{3}=x_{2}-\Delta x\approx0{,}2574468-(-0{,}001205)\approx0{,}2586518.
Agora |x_{3}-x_{2}|\approx0{,}001205>\varepsilon. Ainda ligeiramente acima de 0{,}001, então faço mais uma iteração.
Iteração 3 \to 4:
x_{3}\approx0{,}2586518.
Faço cálculo rápido de P(x_{3}):
x_{3}^{2}\approx0{,}066920,\quad x_{3}^{3}\approx0{,}017308,
P(x_{3})\approx2(0{,}017308)-4(0{,}2586518)+1\approx0{,}034616-1{,}0346072+1\approx0{,}0000088.
P'(x_{3})\approx6(0{,}066920)-4\approx0{,}40152-4=-3{,}59848.
Correção:
\Delta x\approx\frac{0{,}0000088}{-3{,}59848}\approx-2{,}45\cdot10^{-6},
x_{4}=x_{3}-\Delta x\approx0{,}2586518-(-0{,}00000245)\approx0{,}2586543.
Diferença |x_{4}-x_{3}|\approx2{,}45\cdot10^{-6}<\varepsilon. Portanto convergimos com tolerância \varepsilon=0{,}001.
Conclusão desta parte (raiz obtida via Newton):
\text{Uma raiz aproximada é }x\approx0{,}25865\\ (\text{precisão melhor que }0{,}001).éã

Passo 4

Verificação rápida do valor de P em x\approx0{,}25865:
P(0{,}25865)\approx0{,}0000088\approx8{,}8\cdot10^{-6},
o que confirma que é realmente uma boa aproximação da raiz.
Agora usamos Briot–Ruffini (divisão sintética) para dividir o polinômio por (x-x_{r}) com x_{r}=0{,}25865, obtendo um polinômio quadrático que dará as outras duas raízes.

Passo 5

Explicando o algoritmo de Briot–Ruffini (divisão sintética) de forma prática:
  • Para dividir um polinômio por (x-r) usamos os coeficientes do polinômio e fazemos uma soma/ multiplicação sequencial: trazemos o primeiro coeficiente, multiplicamos por r, somamos ao próximo coeficiente, multiplicamos o resultado por r, e assim por diante. O último número obtido é o resto (aqui deve ser ~0 se r for raiz).
  • Para o nosso polinômio os coeficientes (em ordem decrescente) são: 2 (para x^{3}), 0 (para x^{2}), -4 (para x), 1 (constante).
Aplicando Briot–Ruffini com r=0{,}25865:
Tabela (passo a passo):
  • Trago 2 para a linha de baixo.
  • Multiplico 2 por r: 2\cdot0{,}25865=0{,}51730. Somo isso ao próximo coeficiente 0: resulta 0{,}51730.
  • Multiplico 0{,}51730 por r: 0{,}51730\cdot0{,}25865\approx0{,}13380. Somo isso ao próximo coeficiente -4: resulta -3{,}86620.
  • Multiplico -3{,}86620 por r: -3{,}86620\cdot0{,}25865\approx-1{,}00000. Somo isso ao último coeficiente 1: resto \approx0 (confirmando que r é raiz).
Portanto os coeficientes do polinômio dividido (o quociente) são:
2x^{2}+0{,}51730x-3{,}86620.
Ou seja, após dividir por (x-0{,}25865) obtemos o quadrático
Q(x)=2x^{2}+0{,}51730x-3{,}86620.

Passo 6

Resolver o quadrático Q(x)=2x^{2}+0{,}51730x-3{,}86620 usando a fórmula quadrática. Relembrando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=2,\; b=0{,}51730,\; c=-3{,}86620.
Cálculo do discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac\approx(0{,}51730)^{2}-4(2)(-3{,}86620).
(0{,}51730)^{2}\approx0{,}2676,
-4ac=-8c=-8(-3{,}86620)=30{,}9296,
\Delta\approx0{,}2676+30{,}9296\approx31{,}1972.
\sqrt{\Delta}\approx\sqrt{31{,}1972}\approx5{,}5849.
Agora as duas raízes:
x=\frac{-0{,}51730\pm5{,}5849}{2\cdot2}=\frac{-0{,}51730\pm5{,}5849}{4}.
Cálculos finais:
  • Com sinal +:
x_{+}=\frac{-0{,}51730+5{,}5849}{4}=\frac{5{,}0676}{4}\approx1{,}2669.
  • Com sinal -:
x_{-}=\frac{-0{,}51730-5{,}5849}{4}=\frac{-6{,}1022}{4}\approx-1{,}5256.

Passo 7

Verificação rápida (avaliando P nos valores aproximados) — só para checar resíduos pequenos:
P(0{,}25865)\approx8{,}8\cdot10^{-6}\\ (\text{quase zero}),
P(1{,}2669)\approx\text{ordem de }10^{-3}\\ \text{(resíduo pequeno)},í
P(-1{,}5256)\approx\text{ordem de }10^{-4}\\ \text{(resíduo pequeno)}.í
As aproximações são consistentes e, pelo procedimento, a raiz obtida por Newton ( 0{,}25865) respeita a tolerância \varepsilon=0{,}001. As outras duas raízes foram obtidas por divisão sintética seguida da fórmula quadrática e estão aproximadas ao mesmo nível de precisão prática.

Resposta

x_{1}\approx0{,}25865
x_{2}\approx1{,}2669
x_{3}\approx-1{,}5256

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