Considere o polinômio P_{3}(x)=3 x^{3}-4 x^{2}-x+1.
a) Determine uma aproximação para a raiz negativa \xi de P_{3}(x) utilizando o método de Newton e Briot-Ruffini, com aproximação inicial x_{0}=-0.5 e precisão \varepsilon=0.01.
b) Fatore o polinômio P_{3}(x) na forma P_{3}(x) \approx(x-\xi) Q_{2}(x) e determine as outras raízes reais aproximadas de P_{3}(x).

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que nos foi dado):
  • Temos o polinômio \displaystyle P_{3}(x)=3x^{3}-4x^{2}-x+1.
  • Pedido (a): determinar uma aproximação para a raiz negativa \xi de P_{3}(x) usando o método de Newton e Briot–Ruffini, com aproximação inicial \displaystyle x_{0}=-0{,}5 e precisão \varepsilon=0{,}01.
  • Pedido (b): fatorar P_{3}(x) na forma \displaystyle P_{3}(x)\approx (x-\xi)\,Q_{2}(x) (usar \xi aproximada) e determinar as outras raízes reais aproximadas de P_{3}(x).
  • Informação útil que usaremos: a derivada do polinômio será necessária para Newton.

Passo 2

Breve explicação do método de Newton (com passo a passo didático) e aplicação inicial ao polinômio:
  • O método de Newton para achar uma raiz de uma função f(x) usa a fórmula iterativa
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. A ideia é aproximar f por sua reta tangente em x_n e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação. Paramos quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon (critério pedido).
  • Para o nosso polinômio P_{3}(x)=3x^{3}-4x^{2}-x+1 precisamos da derivada:
P_{3}'(x)=9x^{2}-8x-1.
  • Agora aplicamos Newton com \displaystyle x_{0}=-0{,}5.
Cálculos:
  1. Avaliamos P_{3} e P_{3}' em \displaystyle x_{0}=-\tfrac{1}{2}:
P_{3}\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=3\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{3}-4\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}-\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)+1=\tfrac{1}{8}=0{,}125,
P_{3}'\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=9\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}-8\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)-1=5{,}25.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{P_{3}(x_{0})}{P_{3}'(x_{0})}=-\tfrac{1}{2}-\frac{1/8}{21/4}=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{42}=-\tfrac{11}{21}\approx -0{,}5238095238.
  1. Avaliamos em x_{1}=-\tfrac{11}{21} (usei frações exatas para precisão):
P_{3}\!\Bigl(-\tfrac{11}{21}\Bigr)=-\tfrac{45}{9261}\approx -0{,}004859,
P_{3}'\!\Bigl(-\tfrac{11}{21}\Bigr)=\tfrac{832}{147}\approx 5{,}659864.
Nova iteração:
x_{2}=x_{1}-\frac{P_{3}(x_{1})}{P_{3}'(x_{1})}=-\tfrac{11}{21} -\frac{-45/9261}{832/147} =-\tfrac{11}{21}+\tfrac{5}{5824} =-\tfrac{63959}{122304}\approx -0{,}5229517656.
Diferença entre iterações:
|x_{2}-x_{1}|=\frac{5}{5824}\approx 0{,}0008578<\varepsilon(=0{,}01),
portanto o critério de parada é satisfeito e podemos tomar
\boxed{\xi\approx -0{,}52295}.
(Comentário prático: chegamos à precisão pedida já em duas iterações; usar frações exatas quando possível ajuda a controlar erros.)

Passo 3

Explicação do método de Briot–Ruffini (divisão sintética) e aplicação para fatorar o polinômio por (x-\xi):
  • A divisão sintética (Briot–Ruffini) é um modo rápido de dividir um polinômio por um binómio da forma x-c. Com as coeficientes do polinômio colocadas em linha, “trazemos” o primeiro coeficiente para baixo, multiplicamos por c, somamos à próxima entrada e repetimos. O resultado dá os coeficientes do polinômio quociente e o último número é o resto.
  • Vamos dividir P_{3}(x)=3x^{3}-4x^{2}-x+1 pelos coeficientes iniciais [3,\,-4,\,-1,\;1] usando c=\xi\approx -0{,}5229517656 (valor obtido no Newton).
Aplicando a divisão sintética (cálculo numérico aproximado):
  • Trago 3 para baixo: primeiro coeficiente do quociente =3.
  • Multiplico 3\cdot \xi=3\cdot(-0{,}5229517656)=-1{,}5688552968. Somo a -4: obtemos -5{,}5688552968.
  • Multiplico -5{,}5688552968\cdot \xi \approx 2{,}9122366484. Somo a -1: obtemos 1{,}9122366484.
  • Multiplico 1{,}9122366484\cdot \xi \approx -1{,}0000103242. Somo a 1: resto \approx -0{,}0000103242, que é essencialmente zero dentro do erro de truncamento (boa confirmação de que \xi é raiz).
Assim o quociente (coeficientes resultantes) é aproximadamente
Q_{2}(x)=3x^{2}-5{,}5688552968\,x+1{,}9122366484.
Resto ≈ -1{,}03\times 10^{-5} (próximo de zero — bom sinal).

Passo 4

Como achar as outras raízes do polinômio (resolvendo Q_{2}(x)=0) — explicação do método e cálculo:
  • Para uma quadrática ax^{2}+bx+c=0, usamos a fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes. O termo b^{2}-4ac chama-se discriminante; se for positivo temos duas raízes reais distintas.
  • No nosso caso a=3, b\approx -5{,}5688552968, c\approx 1{,}9122366484.
Calculamos o discriminante e as raízes:
\Delta=b^{2}-4ac\approx ( -5{,}5688552968)^{2}-4\cdot 3\cdot 1{,}9122366484\approx 8{,}06531052.
\sqrt{\Delta}\approx 2{,}840020.
As raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5{,}5688552968\pm 2{,}840020}{6}.
Cálculos numéricos:
  • raiz maior: x\approx \dfrac{5{,}5688552968+2{,}840020}{6}\approx 1{,}4014759.
  • raiz menor: x\approx \dfrac{5{,}5688552968-2{,}840020}{6}\approx 0{,}4548092.
Verificação rápida mental: os três valores -0{,}52295,\;0{,}45481,\;1{,}40148 são plausíveis (produzem P_{3}(x) próximos de zero dentro do erro de aproximação).

Resposta

\xi\approx -0{,}52295 (raiz negativa encontrada por Newton, com |x_{2}-x_{1}|<0{,}01).
\displaystyle P_{3}(x)\approx (x-(-0{,}52295))\bigl(3x^{2}-5{,}5688552968\,x+1{,}9122366484\bigr) e as outras raízes reais aproximadas são \;x\approx 1{,}40148 e \;x\approx 0{,}45481.

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