Considere o polinômio
.
a) Determine uma aproximação para a raiz negativa
de
utilizando o método de Newton e Briot-Ruffini, com aproximação inicial
e precisão
.
b) Fatore o polinômio
na forma
e determine as outras raízes reais aproximadas de
.
a) Determine uma aproximação para a raiz negativa
b) Fatore o polinômio
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que nos foi dado):
- Temos o polinômio
. - Pedido (a): determinar uma aproximação para a raiz negativa
de usando o método de Newton e Briot–Ruffini, com aproximação inicial e precisão . - Pedido (b): fatorar
na forma (usar aproximada) e determinar as outras raízes reais aproximadas de . - Informação útil que usaremos: a derivada do polinômio será necessária para Newton.
Passo 2
Breve explicação do método de Newton (com passo a passo didático) e aplicação inicial ao polinômio:
- O método de Newton para achar uma raiz de uma função
usa a fórmula iterativa
onde
é a derivada de
. A ideia é aproximar
por sua reta tangente em
e tomar a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação. Paramos quando
(critério pedido).
- Para o nosso polinômio
precisamos da derivada:
- Agora aplicamos Newton com
.
Cálculos:
- Avaliamos
e em :
Aplicando a fórmula de Newton:
- Avaliamos em
(usei frações exatas para precisão):
Nova iteração:
Diferença entre iterações:
portanto o critério de parada é satisfeito e podemos tomar
(Comentário prático: chegamos à precisão pedida já em duas iterações; usar frações exatas quando possível ajuda a controlar erros.)
Passo 3
Explicação do método de Briot–Ruffini (divisão sintética) e aplicação para fatorar o polinômio por
:
- A divisão sintética (Briot–Ruffini) é um modo rápido de dividir um polinômio por um binómio da forma
. Com as coeficientes do polinômio colocadas em linha, “trazemos” o primeiro coeficiente para baixo, multiplicamos por , somamos à próxima entrada e repetimos. O resultado dá os coeficientes do polinômio quociente e o último número é o resto. - Vamos dividir
pelos coeficientes iniciais usando (valor obtido no Newton).
Aplicando a divisão sintética (cálculo numérico aproximado):
- Trago
para baixo: primeiro coeficiente do quociente . - Multiplico
. Somo a : obtemos . - Multiplico
. Somo a : obtemos . - Multiplico
. Somo a : resto , que é essencialmente zero dentro do erro de truncamento (boa confirmação de que é raiz).
Assim o quociente (coeficientes resultantes) é aproximadamente
Resto ≈
(próximo de zero — bom sinal).
Passo 4
Como achar as outras raízes do polinômio (resolvendo
) — explicação do método e cálculo:
- Para uma quadrática
, usamos a fórmula quadrática
onde
,
,
são os coeficientes. O termo
chama-se discriminante; se for positivo temos duas raízes reais distintas.
- No nosso caso
, , .
Calculamos o discriminante e as raízes:
As raízes são
Cálculos numéricos:
- raiz maior:
. - raiz menor:
.
Verificação rápida mental: os três valores
são plausíveis (produzem
próximos de zero dentro do erro de aproximação).