Seja 20 dados honestos determine a probabilidade aproximada de que a soma obtida esteja entre 40 e 50 considerando os casos exclusivo.

Passo 1

Então, a gente tem 20 dados normais (justos) e queremos descobrir a probabilidade de que a soma dos números que saírem nesses 20 dados fique entre 40 e 50. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, mais especificamente a distribuição normal e o Teorema Central do Limite, que nos ajudam a aproximar a soma de muitos eventos aleatórios, como o lançamento desses dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a soma dos resultados de vários dados. Cada dado justo tem 6 faces, numeradas de 1 a 6, e a média (valor esperado) de um dado é:
mu = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 66 = 3,5
E o desvio padrão (que mede a variabilidade) de um dado é:
sigma = raiz(1-3,5)^2 + (2-3,5)^2 + dots + (6-3,5)^26 approx 1,71

Passo 3

Quando a gente lança 20 dados, a soma desses resultados terá uma média total de:
musoma = 20 times 3,5 = 70
E o desvio padrão da soma será:
sigmasoma = raiz20 times 1,71 approx 7,64

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de a soma estar entre 40 e 50, vamos usar a distribuição normal. Primeiro, precisamos padronizar esses valores usando a fórmula:
Z = X - musomasigmasoma
Para X = 50:
Z1 = 50 - 707,64 approx -2,62
Para X = 40:
Z2 = 40 - 707,64 approx -3,93

Passo 5

Com os valores de Z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes. A probabilidade de Z estar entre -3,93 e -2,62 é a diferença entre as probabilidades de Z ser menor que -2,62 e Z ser menor que -3,93.
Usando a tabela:
P(Z < -2,62) approx 0,0044
P(Z < -3,93) approx 0,00004
Então:
P(-3,93 < Z < -2,62) = 0,0044 - 0,00004 = 0,00436

Passo 6

Convertendo isso para porcentagem, multiplicamos por 100:
0,00436 times 100 approx 0,436%

Resposta

A probabilidade aproximada de que a soma dos 20 dados esteja entre 40 e 50 é de aproximadamente 0,44%.

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