Seja 20 dados honestos determine a probabilidade aproximada de que a soma obtida esteja entre 40 e 50 considerando os casos exclusivo.
Passo 1
Então, a gente tem 20 dados normais (justos) e queremos descobrir a probabilidade de que a soma dos números que saírem nesses 20 dados fique entre 40 e 50. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, mais especificamente a distribuição normal e o Teorema Central do Limite, que nos ajudam a aproximar a soma de muitos eventos aleatórios, como o lançamento desses dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona a soma dos resultados de vários dados. Cada dado justo tem 6 faces, numeradas de 1 a 6, e a média (valor esperado) de um dado é:
E o desvio padrão (que mede a variabilidade) de um dado é:
Passo 3
Quando a gente lança 20 dados, a soma desses resultados terá uma média total de:
E o desvio padrão da soma será:
Passo 4
Agora, para encontrar a probabilidade de a soma estar entre 40 e 50, vamos usar a distribuição normal. Primeiro, precisamos padronizar esses valores usando a fórmula:
Para X = 50:
Para X = 40:
Passo 5
Com os valores de Z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes. A probabilidade de Z estar entre -3,93 e -2,62 é a diferença entre as probabilidades de Z ser menor que -2,62 e Z ser menor que -3,93.
Usando a tabela:
Então:
Passo 6
Convertendo isso para porcentagem, multiplicamos por 100:
Resposta
A probabilidade aproximada de que a soma dos 20 dados esteja entre 40 e 50 é de aproximadamente 0,44%.