Considere que os diâmetros (X) de parafusos contidos em um grande lote possam ser modelados por uma distribuição Normal com média 20 milimetros e variância 16 milimetros, isto é, X sim N(mu=20 ; sigma^2= 16). Suponha que retiramos parafusos do lote com reposição. Calcule a probabilidade aproximada de que seja necessário retirar 6 parafusos para observar o terceiro parafuso com diâmetro superior a 25 milímetros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre parafusos cujos diâmetros seguem uma distribuição Normal com média de 20 milímetros e variância de 16 milímetros (ou seja, desvio padrão de 4 mm). A gente precisa descobrir a probabilidade de que, ao retirar parafusos com reposição, seja necessário tirar exatamente 6 parafusos para encontrar o terceiro parafuso com diâmetro maior que 25 milímetros.
Vamos usar conceitos de distribuição Normal para encontrar a probabilidade de um parafuso ter diâmetro maior que 25 mm e, em seguida, aplicar a distribuição binomial negativa para calcular a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a probabilidade de um único parafuso ter diâmetro acima de 25 mm. Como os diâmetros seguem uma distribuição Normal $ X \sim N(\mu=20, \sigma^2=16) $, o desvio padrão $ \sigma $ é 4 mm.
Calculamos o escore Z para 25 mm:
X sim N(mu=20, sigma^2=16)
Agora, queremos achar $ P(X > 25) $, que é equivalente a $ P(Z > 1,25) $.
Consultando a tabela da distribuição Normal padrão, encontramos que:
sigma
Então, a probabilidade de um parafuso ter diâmetro acima de 25 mm é aproximadamente 10,56%.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a probabilidade de que o terceiro parafuso com diâmetro maior que 25 mm seja encontrado exatamente no sexto parafuso retirado. Isso se encaixa na distribuição binomial negativa, onde buscamos a probabilidade de ter o terceiro sucesso (parafuso >25 mm) na sexta tentativa.
A fórmula para essa probabilidade é:
P(N=6) = binom52 times p^3 times (1-p)^3
Onde:
  • $ \binom{5}{2} $ é o número de combinações de 2 sucessos nas primeiras 5 tentativas.
  • $ p = 0,1056 $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
  • $ (1-p) = 0,8944 $ é a probabilidade de fracasso.
Calculando:
binom52
p = 0,1056
(1-p) = 0,8944
Multiplicando tudo:
binom52 = 10
Ou seja, aproximadamente 0,843%.

Resposta

A probabilidade aproximada de precisar retirar 6 parafusos para observar o terceiro com diâmetro superior a 25 mm é de 0,843%.

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