Considere que parafusos de uma montadora são produzidos em três fábricas em iguais quantidades: A , BeC . Os diâmetros dos parafusos da Fábrica A possuem distribuição Normal com média 25 milímetros e variância 25 milimetros, isto é, X sim N(mu=25 ; sigma^2=25); da Fábrica B temos X sim N(mu=20 ; sigma^2=16); da Fábrica C temos X sim N(mu=20 ; sigma^2=25).
Um parafuso é selecionado aleatoriamente da montadora: Calcule a probabilidade de que seu diâmetro seja menor do que 22 milimetros;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo parafusos produzidos por três fábricas diferentes: A, B e C. Cada fábrica produz a mesma quantidade de parafusos. Os diâmetros dos parafusos seguem distribuições normais com médias e variâncias específicas para cada fábrica. Precisamos descobrir a probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente tenha um diâmetro menor que 22 milímetros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e a regra da probabilidade total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, como os parafusos vêm de três fábricas produzidas em quantidades iguais, a probabilidade de escolher um parafuso de qualquer uma das fábricas é a mesma, ou seja, 13 para cada fábrica.

Passo 3

Agora, vamos analisar a distribuição dos diâmetros de cada fábrica:
  • Fábrica A: XA sim N(mu=25 ; sigma^2=25)
    Isso significa que o diâmetro dos parafusos da fábrica A tem média 25 mm e desvio padrão sigmaA = raiz25 = 5 mm.
  • Fábrica B: XB sim N(mu=20 ; sigma^2=16)
    Aqui, a média é 20 mm e o desvio padrão sigmaB = raiz16 = 4 mm.
  • Fábrica C: XC sim N(mu=20 ; sigma^2=25)
    A média é 20 mm e o desvio padrão sigmaC = raiz25 = 5 mm.

Passo 4

Queremos calcular P(X < 22), ou seja, a probabilidade de um parafuso escolhido aleatoriamente ter diâmetro menor que 22 mm. Como temos três distribuições diferentes, vamos usar a regra da probabilidade total:
P(X < 22) = 13P(XA < 22) + 13P(XB < 22) + 13P(XC < 22)

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de funções normais.
  • Para a Fábrica A:
    ZA = 22 - 255 = -35 = -0,6
    Procurando P(Z < -0,6) na tabela, encontramos aproximadamente 0,2743.
  • Para a Fábrica B:
    ZB = 22 - 204 = 24 = 0,5
    P(Z < 0,5) approx 0,6915.
  • Para a Fábrica C:
    ZC = 22 - 205 = 25 = 0,4
    P(Z < 0,4) approx 0,6554.

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da probabilidade total:
P(X < 22) = 13(0,2743) + 13(0,6915) + 13(0,6554)
Calculando:
P(X < 22) = 0,2743 + 0,6915 + 0,65543 approx 1,62123 approx 0,5404

Resposta

A probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente tenha diâmetro menor que 22 milímetros é aproximadamente 54,04%.

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