Considere que parafusos de uma montadora são produzidos em três fábricas em iguais quantidades: A , BeC . Os diâmetros dos parafusos da Fábrica A possuem distribuição Normal com média 25 milímetros e variância 25 milimetros, isto é,
; da Fábrica B temos
; da Fábrica
temos
.
Um parafuso é selecionado aleatoriamente da montadora: Calcule a probabilidade de que seu diâmetro seja menor do que 22 milimetros;
Um parafuso é selecionado aleatoriamente da montadora: Calcule a probabilidade de que seu diâmetro seja menor do que 22 milimetros;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo parafusos produzidos por três fábricas diferentes: A, B e C. Cada fábrica produz a mesma quantidade de parafusos. Os diâmetros dos parafusos seguem distribuições normais com médias e variâncias específicas para cada fábrica. Precisamos descobrir a probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente tenha um diâmetro menor que 22 milímetros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e a regra da probabilidade total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, como os parafusos vêm de três fábricas produzidas em quantidades iguais, a probabilidade de escolher um parafuso de qualquer uma das fábricas é a mesma, ou seja,
para cada fábrica.
Passo 3
Agora, vamos analisar a distribuição dos diâmetros de cada fábrica:
-
Fábrica A:
Isso significa que o diâmetro dos parafusos da fábrica A tem média 25 mm e desvio padrãomm. -
Fábrica B:
Aqui, a média é 20 mm e o desvio padrãomm. -
Fábrica C:
A média é 20 mm e o desvio padrãomm.
Passo 4
Queremos calcular
, ou seja, a probabilidade de um parafuso escolhido aleatoriamente ter diâmetro menor que 22 mm. Como temos três distribuições diferentes, vamos usar a regra da probabilidade total:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de funções normais.
-
Para a Fábrica A:Procurando
na tabela, encontramos aproximadamente 0,2743. -
Para a Fábrica B:
. -
Para a Fábrica C:
.
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da probabilidade total:
Calculando:
Resposta
A probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente tenha diâmetro menor que 22 milímetros é aproximadamente 54,04%.