Seja f(x)=2 e^{k x}+20. Sabendo que f(2)=30, calcular aproximadamente f(3) (usar a aproximação \sqrt{5} \approx 2,236 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = 2e^{k x} + 20
e informa que \,f(2)=30. Precisamos encontrar a constante k usando essa condição e, em seguida, calcular f(3). O conteúdo é modelo exponencial e propriedades de logaritmo para resolver k, depois avaliação da função.

Passo 2

Usamos f(2)=30, ou seja,
2e^{k\cdot 2} + 20 = 30.
Isolando o termo exponencial:
2e^{2k} = 10 \quad\Longrightarrow\quad e^{2k} = 5.
Agora aplicamos logaritmo natural:
2k = \ln(5) \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{1}{2}\ln(5).

Passo 3

Para calcular f(3), substituímos k e x=3 na definição:
f(3) = 2e^{k\cdot 3} + 20 = 2e^{3\bigl(\tfrac12\ln(5)\bigr)} + 20 = 2e^{\tfrac32\ln(5)} + 20.
Usamos a identidade e^{\ln(a^b)}=a^b, logo
e^{\tfrac32\ln(5)} = 5^{3/2} = 5\sqrt{5}.
Portanto
f(3) = 2\cdot\bigl(5\sqrt{5}\bigr) + 20 = 10\sqrt{5} + 20.

Passo 4

Usando a aproximação \sqrt{5}\approx 2,236, temos
10\sqrt{5} + 20 \approx 10\cdot 2,236 + 20 = 22,36 + 20 = 42,36.

Resposta

f(3)\approx 42,36

Exercícios relacionados