Seja f uma função inversível. Verificar que:
g(x)=f(x+2) é inversível e g^{-1}(x)=f^{-1}(x)-2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função invertível f e define
g(x)=f(x+2).
O objetivo é mostrar que g também é invertível e encontrar sua inversa, usando conteúdo de composição de funções e propriedades de inversão.

Passo 2

Observe que a definição de g pode ser vista como uma composição
g = f \circ h,
onde definimos a “função de deslocamento”
h(x)=x+2.
Como h é claramente invertível (é uma função afim de coeficiente não nulo), sua inversa é
h^{-1}(x)=x-2.

Passo 3

Sabemos que a composição de duas funções invertíveis é invertível e que
(f\circ h)^{-1} = h^{-1}\circ f^{-1}.
Logo, como g=f\circ h, segue-se que
g^{-1} = h^{-1}\circ f^{-1}.
Aplicando essa composição, para todo x temos
g^{-1}(x) = h^{-1}\bigl(f^{-1}(x)\bigr) = f^{-1}(x)-2.

Passo 4

Para verificação, calculamos
g\bigl(g^{-1}(x)\bigr) = f\bigl((g^{-1}(x))+2\bigr) = f\bigl(f^{-1}(x)-2+2\bigr) = f\bigl(f^{-1}(x)\bigr) = x,
e também
g^{-1}\bigl(g(x)\bigr) = f^{-1}\bigl(f(x+2)\bigr) - 2 = (x+2) - 2 = x.
Isso comprova que g^{-1} é realmente a inversa de g.

Resposta

A função g é invertível e
g^{-1}(x)=f^{-1}(x)-2.

Exercícios relacionados