Seja f uma função inversível. Verificar que:
h(x)=f(a x+b), com a \neq 0, é inversível e h^{-1}(x)=\frac{1}{a}\left(f^{-1}(x)-b\right).

Passo 1

O enunciado diz que f é uma função inversível e define
h(x)=f(a\,x+b),
com a\neq0. Precisamos mostrar que h também é inversível e encontrar uma expressão para h^{-1}(x). O conteúdo que vamos usar é que a composição de duas funções invertíveis é invertível e que o inverso de uma composição é a composição dos inversos na ordem contrária.

Passo 2

Definimos a função auxiliar g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
g(x)=a\,x+b.
Como a\neq 0, g é bijetora e seu inverso é
g^{-1}(y)=\frac{y-b}{a}.

Passo 3

Note que
h = f\circ g.
Como f e g são invertíveis, h também é invertível, e vale
h^{-1} \;=\; g^{-1}\circ f^{-1}.
Logo, para todo x,
h^{-1}(x) = g^{-1}\bigl(f^{-1}(x)\bigr) = \frac{f^{-1}(x)-b}{a}.

Passo 4

Verificamos rapidamente que esta fórmula é de fato a inversa de h:
h\bigl(h^{-1}(x)\bigr) = f\bigl(a\,(h^{-1}(x))+b\bigr) = f\!\Bigl(a\cdot\frac{f^{-1}(x)-b}{a}+b\Bigr) = f\bigl(f^{-1}(x)\bigr) = x,
e de modo análogo h^{-1}(h(x))=x.

Resposta

h^{-1}(x)=\frac{1}{a}\bigl(f^{-1}(x)-b\bigr).

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