Seja
e
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(a) Escreva as fórmulas para
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(a) Escreva as fórmulas para
Passo 1
Vamos resolver o exercício que tem como funções $ y = x \cos\left(x^{2}\right) $ e $ x = \sqrt{\pi} , t^{3} $. Precisamos encontrar as fórmulas para as derivadas $ \frac{dy}{dx} $ e $ \frac{dx}{dt} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ \frac{dy}{dx} $. A função $ y = x \cos\left(x^{2}\right) $ é um produto de duas funções de $ x $: $ u = x $ e $ v = \cos\left(x^{2}\right) $.
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
- $ \frac{du}{dx} = 1 $ (derivada de $ x $ é 1)
- Para $ \frac{dv}{dx} $, usamos a regra da cadeia. Derivada de $ \cos\left(x^{2}\right) $ é:
Substituindo de volta na regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ onde $ x = \sqrt{\pi} , t^{3} $.
A derivada de $ x $ em relação a $ t $ é obtida aplicando a regra da potência:
Resposta
As fórmulas derivadas são: