Seja y=x cos (x^2) e x=raizpi t^3.
(a) Escreva as fórmulas para d yd x e d xd t.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que tem como funções $ y = x \cos\left(x^{2}\right) $ e $ x = \sqrt{\pi} , t^{3} $. Precisamos encontrar as fórmulas para as derivadas $ \frac{dy}{dx} $ e $ \frac{dx}{dt} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ \frac{dy}{dx} $. A função $ y = x \cos\left(x^{2}\right) $ é um produto de duas funções de $ x $: $ u = x $ e $ v = \cos\left(x^{2}\right) $.
Aplicando a regra do produto:
dydx
Calculando cada parte:
  • $ \frac{du}{dx} = 1 $ (derivada de $ x $ é 1)
  • Para $ \frac{dv}{dx} $, usamos a regra da cadeia. Derivada de $ \cos\left(x^{2}\right) $ é:
y = x cos(x^2)
Substituindo de volta na regra do produto:
x
u = x

Passo 3

Agora, vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ onde $ x = \sqrt{\pi} , t^{3} $.
A derivada de $ x $ em relação a $ t $ é obtida aplicando a regra da potência:
dxdt
x = raizpi , t^3
x

Resposta

As fórmulas derivadas são:
dydx = cos(x^2) - 2x^2 sin(x^2)
dxdt = 3raizpi , t^2

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