Seja
u=x^2+z^3+ty^2+t
e
X(r, s, t)=ln (2 r+3 s+5 t^2) Y(r, s, t)=e^r+s-t
e
Z(r, s, t)=cos ^7(r^2+s^4+3 t)
Utilizando a regra da cadeia obtenha ur e ut.

Passo 1

A questão dá uma função composta u(x,y,z,t)=x^2+z^3+ty^2+t em que as variáveis x,y,z são, por sua vez, funções de (r,s,t) definidas por
X(r,s,t)=lnl(2r+3s+5t^2r),
Y(r,s,t)=e^r+s-t,
Z(r,s,t)=cos^7l(r^2+s^4+3tr)
O objetivo é usar a regra da cadeia para obter partial u/partial r e partial u/partial t. Vamos precisar do quociente de derivadas e da fórmula da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro calculamos as derivadas parciais de u em relação a x,y,z,t. Chamando
N=x^2+z^3+t,
D=y^2+t,
vemos pelo quociente:
partial upartial x=2x,D-0D^2=2xy^2+t,
partial upartial y=0-2y,ND^2=-2y(x^2+z^3+t)(y^2+t)^2,
partial upartial z=3z^2,DD^2=3z^2y^2+t,
partial upartial t= rac1cdot D-Ncdot1D^2=y^2+t-(x^2+z^3+t)(y^2+t)^2=y^2-x^2-z^3(y^2+t)^2

Passo 3

Agora derivamos X,Y,Z em relação a r e a t. Seja A=2r+3s+5t^2, B=r+s-t e C=r^2+s^4+3t. Então:
Xr=2A,
Xt=10tA,
Yr=e^B,
Yt=-e^B,
Zr=7cos^6(C)l(-sin(C)r)cdot2r=-14rcos^6(C)sin(C),
Zt=7cos^6(C)(-sin(C))cdot3=-21cos^6(C)sin(C)

Passo 4

Pela regra da cadeia, para ur somamos uxXr+uyYr+uzZr+ut,partial t/partial r. Como t é independente de r, partial t/partial r=0. Logo:
ur=2xy^2+tcdot22r+3s+5t^2 -2y(x^2+z^3+t)(y^2+t)^2cdot e^r+s-t +3z^2y^2+tcdot(-14rcos^6(r^2+s^4+3t)sin(r^2+s^4+3t))

Passo 5

Para ut também somamos o termo extra ut,partial t/partial t=ut. Assim:
ut=2xy^2+tcdot10t2r+3s+5t^2 -2y(x^2+z^3+t)(y^2+t)^2cdot(-e^r+s-t) +3z^2y^2+tcdot(-21cos^6(r^2+s^4+3t)sin(r^2+s^4+3t)) +y^2-x^2-z^3(y^2+t)^2

Resposta

As derivadas parciais da função composta são:
ur=4x(y^2+t)(2r+3s+5t^2)-2y(x^2+z^3+t)(y^2+t)^2e^r+s-t-42r,z^2cos^6(r^2+s^4+3t)sin(r^2+s^4+3t)y^2+t,
ut=20tx(y^2+t)(2r+3s+5t^2)+2y(x^2+z^3+t)(y^2+t)^2e^r+s-t-63z^2cos^6(r^2+s^4+3t)sin(r^2+s^4+3t)y^2+t+y^2-x^2-z^3(y^2+t)^2

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