Seja
e
e
Utilizando a regra da cadeia obtenha
e
.
Passo 1
A questão dá uma função composta
em que as variáveis
são, por sua vez, funções de
definidas por
O objetivo é usar a regra da cadeia para obter
e
. Vamos precisar do quociente de derivadas e da fórmula da cadeia.
Passo 2
Para aplicar a regra da cadeia, primeiro calculamos as derivadas parciais de
em relação a
. Chamando
vemos pelo quociente:
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
e a
. Seja
,
e
. Então:
Passo 4
Pela regra da cadeia, para
somamos
. Como
é independente de
,
. Logo:
Passo 5
Para
também somamos o termo extra
. Assim:
Resposta
As derivadas parciais da função composta são: