Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
, com
. O assunto aqui é derivação usando a regra do quociente e a regra da potência.
Passo 2
Para aplicar a regra do quociente, identificamos o numerador
e o denominador
. Precisamos de suas derivadas:
Derivando pelo teorema da potência, temos
Derivando pelo teorema da potência, temos
$$D’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(xk-1\bigr)=k,x{k-1}.
$$
Passo 3
Agora usamos a regra do quociente:
$$f’(x)=\frac{N’(x),D(x)-N(x),D’(x)}{\bigl(D(x)\bigr)^2}.
$$
Passo 4
Substituindo as expressões,
$$f’(x)=\frac{kx{k-1}(xk-1)-(x^k+1),k x{k-1}}{(xk-1)^2}.
$$
Passo 5
Fatorando
no numerador:
$$f’(x)=\frac{k x{k-1}\bigl((xk-1)-(xk+1)\bigr)}{(xk-1)^2}=\frac{k x{k-1}(-2)}{(xk-1)^2}.
$$