Suponha conhecido que 1+x+x^2+x^3+cdots+x^n+cdots=11-x, onde |x|<1. Substitua x por -t^2 nessa identidade e explique a igualdade
arctan x=x-x^33+x^55-cdots+(-1)^n x^2 n+12 n+1+cdots
para todo -1.
Use os três primeiros termos da série anterior para dar uma aproximação da integral
integral0^1 / 2 arctan xx d x

Passo 1

O enunciado pede para usar a série geométrica conhecida, substituir x por -t^2, integrar termo a termo para obter a série de arctan x e depois usar os três primeiros termos dessa série para aproximar integral0^1/2arctan xx,dx. Vamos precisar de: (i) desenvolvimento em série de 1/(1+ t^2), (ii) integração de séries, (iii) aproximação de integral por séries truncadas.

Passo 2

A série geométrica é 1 + x + x^2 + cdots = tfrac11-x para |x|<1. Substituindo x=-t^2 temos

Passo 3

Para obter arctan x=integral0^xdfracdt1+t^2, integramos a série acima de 0 a x. Como a série converge uniformemente em todo [-a,a] com a<1, podemos integrar termo a termo:

Passo 4

Logo
arctan x = x - x^33 + x^55 - cdots + (-1)^nx^2n+12n+1 + cdots(-1

Passo 5

Para aproximar I=integral0^1/2arctan xx,dx, usamos os três primeiros termos de arctan x:
arctan xxapprox 1 - x^23 + x^45

Passo 6

Integramos termo a termo de 0 a 1/2:
Iapprox integral0^1/2l(1 - x^23 + x^45r)dx = l[x - x^39 + x^525r]0^1/2

Passo 7

Calculando cada parcela:
x|0^1/2=12, x^39|0^1/2=(1/2)^39=172, x^525|0^1/2=(1/2)^525=1800

Passo 8

Portanto
Iapprox 12 - 172 + 1800 = 35097200approx0,48736

Resposta

integral0^1/2arctan xx,dxapprox35097200approx0,48736.

Exercícios relacionados