Suponha conhecido que
, onde
. Substitua
por
nessa identidade e explique a igualdade
para todo
.
Use os três primeiros termos da série anterior para dar uma aproximação da integral
Use os três primeiros termos da série anterior para dar uma aproximação da integral
Passo 1
O enunciado pede para usar a série geométrica conhecida, substituir
por
, integrar termo a termo para obter a série de
e depois usar os três primeiros termos dessa série para aproximar
. Vamos precisar de: (i) desenvolvimento em série de
, (ii) integração de séries, (iii) aproximação de integral por séries truncadas.
Passo 2
A série geométrica é
para
. Substituindo
temos
Passo 3
Para obter
, integramos a série acima de 0 a
. Como a série converge uniformemente em todo
com
, podemos integrar termo a termo:
Passo 4
Logo
Passo 5
Para aproximar
, usamos os três primeiros termos de
:
Passo 6
Integramos termo a termo de 0 a
:
Passo 7
Calculando cada parcela:
Passo 8
Portanto