Seja
.
Mostre que, no domínio
é conservativo, sem o cálculo da função potencial.
Mostre que, no domínio
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo no domínio
, sem calcular a função potencial. Para isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e utilizar o critério de igualdade das derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que
e
.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo sem encontrar
, usamos o critério de que, em domínios simplesmente conexos,
é conservativo se e somente se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja,
.
Passo 4
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Primeiro derivamos
em relação a
:
A segunda parte é zero, já que
é tratada como constante em relação a
.
Calculando a primeira derivada usando a regra do quociente:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Primeiro derivamos
em relação a
:
A segunda parte é zero, já que
não depende de
.
Calculando a primeira derivada usando a regra do quociente:
Então,
Passo 7
Comparando as duas derivadas parciais que calculamos:
Como as derivadas são iguais e o domínio
é simplesmente conexo (não tem “buracos” e está bem definido para
e
), podemos concluir que
é conservativo nesse domínio.
Resposta
Portanto, concluímos que o campo vetorial
é conservativo no domínio
.