Seja F(x, y)=(xx^2+y^2+ln (x+4)) d x+(yx^2+y^2+y) d y.
Mostre que, no domínio D=(x, y) in R^2 ; x>-4, y>-x, F é conservativo, sem o cálculo da função potencial.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para mostrar que o campo vetorial F(x, y) = (xx^2+y^2+ln (x+4)) dx + (yx^2+y^2+y) dy é conservativo no domínio D = (x, y) in R^2 ; x > -4, y > -x, sem calcular a função potencial. Para isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e utilizar o critério de igualdade das derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo F = P,dx + Q,dy é conservativo se existe uma função potencial f(x, y) tal que F = nabla f. Isso significa que partial fpartial x = P e partial fpartial y = Q.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo sem encontrar f, usamos o critério de que, em domínios simplesmente conexos, F é conservativo se e somente se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja, partial Qpartial x = partial Ppartial y.

Passo 4

Vamos identificar P e Q no nosso campo:
P = xx^2+y^2 + ln(x + 4)
Q = yx^2+y^2 + y

Passo 5

Agora, vamos calcular partial Qpartial x:
Primeiro derivamos Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x(yx^2+y^2) + partialpartial x(y)
A segunda parte é zero, já que y é tratada como constante em relação a x.
Calculando a primeira derivada usando a regra do quociente:
partialpartial x(yx^2+y^2) = 0 cdot (x^2+y^2) - y cdot 2x(x^2+y^2)^2 = -2xy(x^2+y^2)^2
Então,
partial Qpartial x = -2xy(x^2+y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular partial Ppartial y:
Primeiro derivamos P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y(xx^2+y^2) + partialpartial y(ln(x + 4))
A segunda parte é zero, já que ln(x + 4) não depende de y.
Calculando a primeira derivada usando a regra do quociente:
partialpartial y(xx^2+y^2) = 0 cdot (x^2+y^2) - x cdot 2y(x^2+y^2)^2 = -2xy(x^2+y^2)^2
Então,
partial Ppartial y = -2xy(x^2+y^2)^2

Passo 7

Comparando as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Qpartial x = -2xy(x^2+y^2)^2 = partial Ppartial y
Como as derivadas são iguais e o domínio D é simplesmente conexo (não tem “buracos” e está bem definido para x > -4 e y > -x), podemos concluir que F é conservativo nesse domínio.

Resposta

Portanto, concluímos que o campo vetorial F é conservativo no domínio D = (x, y) in R^2 ; x > -4, y > -x.

Exercícios relacionados