Seja F(x, y)=(xx^2+y^2+ln (x+4)) d x+(yx^2+y^2+y) d y.
Calcule integralgamma F d alpha, em que gamma(t) é dada pelo gráfico de y=4-x^2, no primeiro quadrante.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial. A questão nos dá um campo vetorial F(x, y) e pede para calcular a integral de linha integralgamma F , dalpha, onde gamma(t) é a curva definida por y = 4 - x^2 no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais de linha e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva gamma(t). Ela é definida por y = 4 - x^2 no primeiro quadrante, ou seja, x varia de 0 a 2 (porque quando x=2, y=0). Assim, podemos parametrizar a curva em termos de x.

Passo 3

Com a parametrização, podemos expressar a integral de linha em função de x. Sabemos que dy = dydxdx = -2x , dx. Então, a integral fica:
integral0^2 [ ( xx^2 + y^2 + ln(x + 4) ) + ( yx^2 + y^2 + y )(-2x) ] dx
Onde substituímos y = 4 - x^2.

Passo 4

Antes de resolver essa integral, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a derivada parcial de uma componente em relação a y for igual à derivada parcial da outra componente em relação a x. Calculando:
partial Fxpartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2
partial Fypartial x = -2xy(x^2 + y^2)^2
Como são iguais, F é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi.

Passo 5

Vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Integramos Fx em relação a x:
phi(x, y) = integral ( xx^2 + y^2 + ln(x + 4) ) dx = 12 ln(x^2 + y^2) + (x + 4)(ln(x + 4) - 1) + h(y)
Agora, derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos a Fy para encontrar h(y):
partial phipartial y = yx^2 + y^2 + h'(y) = yx^2 + y^2 + y
Isso nos dá:
h'(y) = y Rightarrow h(y) = 12y^2 + C
Então, a função potencial é:
phi(x, y) = 12 ln(x^2 + y^2) + (x + 4)(ln(x + 4) - 1) + 12y^2

Passo 6

Como F é conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais da curva gamma. Os pontos finais são (0, 4) e (2, 0).
Calculamos phi(2, 0):
phi(2, 0) = 12 ln(4) + 6(ln 6 - 1) + 0 = 12 ln 4 + 6 ln 6 - 6
E phi(0, 4):
phi(0, 4) = 12 ln(16) + 4(ln 4 - 1) + 8 = 12 cdot 2 ln 4 + 4 ln 4 - 4 + 8 = ln 4 + 4 ln 4 + 4 = 5 ln 4 + 4

Passo 7

Agora, subtraímos os valores da função potencial nos pontos finais:
phi(2, 0) - phi(0, 4) = ( 12 ln 4 + 6 ln 6 - 6 ) - ( 5 ln 4 + 4 ) = -92 ln 4 + 6 ln 6 - 10

Resposta

A integral integralgamma F , dalpha é igual a -92 ln 4 + 6 ln 6 - 10.

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