Seja
.
Calcule
, em que
é dada pelo gráfico de
, no primeiro quadrante.
Calcule
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial. A questão nos dá um campo vetorial
e pede para calcular a integral de linha
, onde
é a curva definida por
no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais de linha e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é definida por
no primeiro quadrante, ou seja,
varia de 0 a 2 (porque quando
,
). Assim, podemos parametrizar a curva em termos de
.
Passo 3
Com a parametrização, podemos expressar a integral de linha em função de
. Sabemos que
. Então, a integral fica:
Onde substituímos
.
Passo 4
Antes de resolver essa integral, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a derivada parcial de uma componente em relação a
for igual à derivada parcial da outra componente em relação a
. Calculando:
Como são iguais,
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Vamos encontrar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso nos dá:
Então, a função potencial é:
Passo 6
Como
é conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais da curva
. Os pontos finais são
e
.
Calculamos
:
E
:
Passo 7
Agora, subtraímos os valores da função potencial nos pontos finais:
Resposta
A integral
é igual a
.