Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
Temos a função de duas variáveis
sujeita à restrição linear
. O método de Lagrange serve para encontrar extremos de
sob essa condição, criando um multiplicador
.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana como
Em seguida, vamos aplicar as condições de ótimo igualando as derivadas parciais a zero.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Isso gera o sistema:
Passo 4
Da primeira equação tiramos
e da segunda
. Igualando:
que leva a
Passo 5
Como a restrição dá
, substituímos em
:
que se reduz a
cuja solução é
Então
Passo 6
Agora avaliamos
nesses pontos:
Comparamos e vemos que
, então o mínimo ocorre em
e o máximo em
.
Resposta
O valor mínimo de
é
, obtido em
; o valor máximo de
é
, obtido em
.