Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^3+y^3-3 x-3 y ; x+2 y=3.

Passo 1

Temos a função de duas variáveis f(x,y)=x^3+y^3-3x-3y sujeita à restrição linear x+2y=3. O método de Lagrange serve para encontrar extremos de f sob essa condição, criando um multiplicador lambda.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana como
L(x,y,lambda)=x^3+y^3-3x-3y+lambda,(x+2y-3)
Em seguida, vamos aplicar as condições de ótimo igualando as derivadas parciais a zero.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partialLpartial x=3x^2-3+lambda=0,
partialLpartial y=3y^2-3+2lambda=0,
partialLpartiallambda=x+2y-3=0
Isso gera o sistema:
3x^2-3+lambda=0,
3y^2-3+2lambda=0,
x+2y=3

Passo 4

Da primeira equação tiramos lambda=3-3x^2 e da segunda lambda=(3-3y^2)/2. Igualando:
3-3x^2=3-3y^22
que leva a
y^2=2x^2-1

Passo 5

Como a restrição dá y=(3-x)/2, substituímos em y^2=2x^2-1:
l(3-x2r)^2=2x^2-1
que se reduz a
7x^2+6x-13=0
cuja solução é
x=1ou x=-tfrac137
Então
y=1quando x=1,
y=tfrac177quando x=-tfrac137

Passo 6

Agora avaliamos f nesses pontos:
f(1,1)=1+1-3-3=-4,
fl(-tfrac137,tfrac177r)=30449
Comparamos e vemos que -4, então o mínimo ocorre em (1,1) e o máximo em (-tfrac137,tfrac177).

Resposta

O valor mínimo de f é -4, obtido em (1,1); o valor máximo de f é tfrac30449, obtido em (-tfrac137,tfrac177).

Exercícios relacionados