Seja a função
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Determine uma parametrização para a curva
obtida pela interseção do gráfico de
e o plano
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Determine uma parametrização para a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização da curva $ C $, que é a interseção entre o gráfico da função $ f(x, y) = \ln(y - x^2 - 1) $ e o plano $ z = 2 $. Isso envolve conceitos de funções de várias variáveis e interseção de superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção entre o gráfico de $ f $ e o plano $ z = 2 $. O gráfico de $ f $ é dado por $ z = \ln(y - x^2 - 1) $. Para encontrar onde esse gráfico cruza o plano $ z = 2 $, igualamos as duas expressões de $ z $:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para $ y $. Para isso, aplicamos a função exponencial nos dois lados para eliminar o logaritmo:
Isso simplifica para:
Isolando $ y $:
Passo 4
Com essa relação entre $ y $ e $ x $, podemos expressar $ y $ em termos de $ x $. Para parametrizar a curva $ C $, escolhemos $ x $ como nosso parâmetro, que vamos chamar de $ t $. Assim, temos:
Substituindo na expressão de $ y $:
E sabemos que no plano $ z = 2 $, o valor de $ z $ é constante:
Resposta
Assim, uma parametrização para a curva $ C $ é:
onde $ t $ é um número real.