Seja
e
.
2. (1 ponto) Determine o vetor unitário
que dá a direção de taxa de variação máxima de
em
e determine essa taxa máxima.
2. (1 ponto) Determine o vetor unitário
Passo 1
O enunciado pede a direção em que a variação de f é máxima em P₀ e essa taxa máxima. Isso está no conteúdo de derivadas parciais e gradiente: a direção de variação máxima de f em um ponto é dada pelo vetor gradiente normalizado e a taxa máxima é o módulo desse gradiente.
Passo 2
Vamos lembrar que o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais: ∇f=(fₓ,fᵧ). E que a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário u é ∇f·u, que atinge valor máximo quando u é paralelo a ∇f, valendo |∇f|.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=sin(xy)+e^{xy²} usando regra da cadeia e produto:
fₓ(x,y)=y·cos(xy)+y²·e^{x y²}
fᵧ(x,y)=x·cos(xy)+2xy·e^{x y²}
fₓ(x,y)=y·cos(xy)+y²·e^{x y²}
fᵧ(x,y)=x·cos(xy)+2xy·e^{x y²}
Passo 4
Agora avaliamos em P₀=(0,π/2). Note que cos(0)=1 e e⁰=1:
fₓ(0,π/2)=(π/2)·1+(π/2)²·1=π/2+π²/4
fᵧ(0,π/2)=0·1+2·0·(π/2)·1=0
fₓ(0,π/2)=(π/2)·1+(π/2)²·1=π/2+π²/4
fᵧ(0,π/2)=0·1+2·0·(π/2)·1=0
Passo 5
Portanto o gradiente em P₀ é ∇f(P₀)=(π/2+π²/4,0). Como isso está ao longo do eixo x e é positivo, o vetor unitário na direção de ∇f é uₘₐₓ=(1,0).
A taxa de variação máxima é justamente o módulo de ∇f(P₀), que é |π/2+π²/4|=π/2+π²/4.
A taxa de variação máxima é justamente o módulo de ∇f(P₀), que é |π/2+π²/4|=π/2+π²/4.
Resposta
Direção de máxima variação:
. Taxa máxima de variação:
.