Seja f(x, y)=sin (x y)+e^x y^2 e P0=(0, pi / 2).
2. (1 ponto) Determine o vetor unitário umax que dá a direção de taxa de variação máxima de f em P0 e determine essa taxa máxima.

Passo 1

O enunciado pede a direção em que a variação de f é máxima em P₀ e essa taxa máxima. Isso está no conteúdo de derivadas parciais e gradiente: a direção de variação máxima de f em um ponto é dada pelo vetor gradiente normalizado e a taxa máxima é o módulo desse gradiente.

Passo 2

Vamos lembrar que o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais: ∇f=(fₓ,fᵧ). E que a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário u é ∇f·u, que atinge valor máximo quando u é paralelo a ∇f, valendo |∇f|.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=sin(xy)+e^{xy²} usando regra da cadeia e produto:
fₓ(x,y)=y·cos(xy)+y²·e^{x y²}
fᵧ(x,y)=x·cos(xy)+2xy·e^{x y²}

Passo 4

Agora avaliamos em P₀=(0,π/2). Note que cos(0)=1 e e⁰=1:
fₓ(0,π/2)=(π/2)·1+(π/2)²·1=π/2+π²/4
fᵧ(0,π/2)=0·1+2·0·(π/2)·1=0

Passo 5

Portanto o gradiente em P₀ é ∇f(P₀)=(π/2+π²/4,0). Como isso está ao longo do eixo x e é positivo, o vetor unitário na direção de ∇f é uₘₐₓ=(1,0).
A taxa de variação máxima é justamente o módulo de ∇f(P₀), que é |π/2+π²/4|=π/2+π²/4.

Resposta

Direção de máxima variação: vec umax=(1,0). Taxa máxima de variação: pi2+pi^24.

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