Seja f(x, y)=sin (x y)+e^x y^2 e P0=(0, pi / 2).
3. (1 ponto) Seja g(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)). Assuma que:
(x(0,0), y(0,0))=P0, partial xpartial u(0,0)=5, partial xpartial v(0,0)=2, partial ypartial u(0,0)=0, partial ypartial v(0,0)=1
Calcule partial gpartial u(0,0) e partial gpartial v(0,0).

Passo 1

A questão pede para calcular partial gpartial u(0,0) e partial gpartial v(0,0) para a função composta g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)), com f(x,y)=sin(xy)+e^xy^2. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro encontramos as derivadas parciais de f:
Diferenciando f em relação a x e y, temos:
fx(x,y)=ycos(xy)+y^2e^xy^2,
fy(x,y)=xcos(xy)+2xy,e^xy^2

Passo 3

Em seguida, avaliamos fx e fy no ponto P0=(0,pi/2):
fx(0,pi/2)=tfracpi2cos(0)+l(tfracpi2r)^2e^0=tfracpi2+tfracpi^24,
fy(0,pi/2)=0cdotcos(0)+2cdot0cdottfracpi2e^0=0

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
partial gpartial u=fxpartial xpartial u+fypartial ypartial u,
partial gpartial v=fxpartial xpartial v+fypartial ypartial v

Passo 5

Por fim, substituímos os valores em (0,0):
partial gpartial u(0,0)=l(tfracpi2+tfracpi^24r)cdot5+0cdot0=tfrac5pi2+tfrac5pi^24,
partial gpartial v(0,0)=l(tfracpi2+tfracpi^24r)cdot2+0cdot1=pi+tfracpi^22

Resposta

partial gpartial u(0,0)=tfrac5pi2+tfrac5pi^24,partial gpartial v(0,0)=pi+tfracpi^22

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