Resolva as equações de Cauchy Euler:
(c) t^2 y^prime prime+t y^prime-y=t^3 e^t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
t^2y''+t,y'-y=t^3e^t
Isso é um ODE de Euler, cujo método envolve: (1) encontrar a solução geral da equação homogênea por y=t^m e (2) achar uma solução particular da não homogênea, aqui por variação de parâmetros.

Passo 2

Para a parte homogênea dividimos por t^2 e obtemos
y''+1ty'-1t^2y=0
Assumindo y=t^m temos
m(m-1)+m-1=0 Longrightarrow m^2-1=0 Longrightarrow m=1,,-1
Logo a solução homogênea é
yh=C1,t + C2,t^-1

Passo 3

Ainda na forma padrão
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t),
temos
p(t)=1t, q(t)=-1t^2, g(t)=t e^t
As soluções fundamentais são y1=t e y2=t^-1. O wronskiano é
W= t & t^-1 1 & -t^-2 =-2,t^-1

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros:
u1'=-g,y2W =-t e^tcdot t^-1-2t^-1 =t e^t2,, u2'=g,y1W =t e^tcdot t-2t^-1 =-t^3e^t2

Passo 5

Integramos:
u1=integral t e^t2,dt =12l((t-1)e^tr), u2=-12integral t^3e^t,dt =-12e^tl(t^3-3t^2+6t-6r)
Então uma solução particular é
yp =u1y1+u2y2 =(t-1)e^t2,t -e^t(t^3-3t^2+6t-6)2,t^-1 =e^tl(t-3+3tr)

Passo 6

A solução geral é
y(t)=yh+yp =C1t + C2t^-1 +e^tl(t-3+3tr)

Resposta

boxedy(t)=C1,t + C2,t^-1+e^tl(t-3+3tr)

Exercícios relacionados