Seja f(x, y)=2 x^2+y^2. Faça o que se pede.
Calcule a derivada direcional partial fpartial u(p) para u=(-1,2) e p=(3,4)

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de f(x,y)=2x²+y² no ponto p=(3,4) na direção u=(-1,2). O conteúdo envolve derivada direcional: precisamos do gradiente de f e do vetor unitário na direção de u.

Passo 2

Para derivada direcional usamos a definição partial fpartial u(p)=nabla f(p)cdotuunit, onde uunit=u/|u|.

Passo 3

Calculando o gradiente de f: nabla f(x,y)=(partial fpartial x,partial fpartial y)=(4x,2y).

Passo 4

Avaliando no ponto p=(3,4) obtemos nabla f(3,4)=(4cdot3,2cdot4)=(12,8).

Passo 5

Normalizando u=(-1,2): |u|=raiz(-1)^2+2^2=raiz5 e uunit=(-tfrac1raiz5,tfrac2raiz5).

Passo 6

Aplicando o produto escalar: nabla f(3,4)cdotuunit=12cdot(-tfrac1raiz5)+8cdottfrac2raiz5=tfrac4raiz5.

Resposta

4raiz5

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