Seja
e seja
a fronteira do cilindro
e
. Calcule
onde
é a normal exterior, ou seja,
é a normal que aponta para fora do cilindro. Resp.: 36.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
pela superfície fechada de um cilindro de raio 2 e altura 3. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo pela fronteira de um volume com a integral tripla da divergência sobre esse volume.
Passo 2
Para usar o Teorema da Divergência, primeiro calculamos a divergência de
. Como
, temos
Passo 3
[\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=0+0+\frac{\partial}{\partial z}(x+y+z^2)=2z\n],
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência:
Passo 5
[\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n},dS=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F}),dV=\iiint_{V}2z,dV], onde
é o cilindro definido por
,
,
.
Passo 6
Montamos a integral em coordenadas cilíndricas, lembrando que
:
Passo 7
[\int_{z=0}{3}\int_{\theta=0}{2\pi}\int_{r=0}^{2}2z,r,dr,d\theta,dz].
Passo 8
Agora calculamos passo a passo:
Passo 9
-
.
Passo 10
-
.
Passo 11
-
.
Passo 12
Multiplicando tudo:
.
Resposta
36\pi