Seja F(x, y, z)=(x+y+z^2) cdot k e seja S a fronteira do cilindro x^2+y^2 <= 4 e 0 <= z <= 3. Calcule integral duplaS F cdot n d S onde n é a normal exterior, ou seja, n é a normal que aponta para fora do cilindro. Resp.: 36. pi

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=(x+y+z^2),k pela superfície fechada de um cilindro de raio 2 e altura 3. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo pela fronteira de um volume com a integral tripla da divergência sobre esse volume.

Passo 2

Para usar o Teorema da Divergência, primeiro calculamos a divergência de F. Como F=(0,0,x+y+z^2), temos

Passo 3

[\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=0+0+\frac{\partial}{\partial z}(x+y+z^2)=2z\n],

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência:

Passo 5

[\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n},dS=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F}),dV=\iiint_{V}2z,dV], onde V é o cilindro definido por 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=3.

Passo 6

Montamos a integral em coordenadas cilíndricas, lembrando que dV=r,dr,dtheta,dz:

Passo 7

[\int_{z=0}{3}\int_{\theta=0}{2\pi}\int_{r=0}^{2}2z,r,dr,d\theta,dz].

Passo 8

Agora calculamos passo a passo:

Passo 9

  • integralr=0^2r,dr=l[tfrac12r^2r]0^2=2.

Passo 10

  • integraltheta=0^2pidtheta=2pi.

Passo 11

  • integralz=0^32z,dz=l[z^2r]0^3=9.

Passo 12

Multiplicando tudo: 2times2pitimes9=36pi.

Resposta

36\pi

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