Determine o fluxo do campo F, através da porção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 no primeiro octante, com normal exterior n. Sendo dados:
F(x, y, z)=z cdot k.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=z,k através da porção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 limitada ao primeiro octante, usando a normal exterior. Vamos aplicar o conceito de integral de superfície de um campo vetorial e parametrizar a superfície em coordenadas esféricas.

Passo 2

Numa esfera de raio a, o vetor normal unitário exterior é
n=1a(x,y,z)
e o elemento de área é
dS=a^2sinphi,dphi,dtheta
Logo o integrando do fluxo fica
Fcdotn = z,kcdot(x,y,z)a =z^2a

Passo 3

Parametrizando em coordenadas esféricas na superfície r=a:
x=asinphicostheta, y=asinphisintheta, z=acosphi,
com phiin[0,tfracpi2] e thetain[0,tfracpi2]. Assim
Fcdotn =(acosphi)^2a =acos^2phi, dS=a^2sinphi,dphi,dtheta

Passo 4

O fluxo é
integral duplaSFcdotn,dS =integraltheta=0^pi/2integralphi=0^pi/2 l(acos^2phir)l(a^2sinphir) ,dphi,dtheta =a^3integral0^pi/2cos^2phisinphi,dphi integral0^pi/2dtheta
Fazendo u=cosphi, integral0^pi/2cos^2phisinphi,dphi =integral1^0u^2(-du)=integral0^1u^2du=tfrac13, e integral0^pi/2dtheta=tfracpi2. Logo o fluxo vale
a^3cdottfrac13cdottfracpi2 =pi,a^36

Resposta

pi,a^36

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