Seja A=\{1,2,3\}. Determine:
a) O conjunto das partes de A
b) Três partições de A

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) listar o conjunto das partes de A, isto é, todos os subconjuntos de A;
b) dar três exemplos de partições de A.
O conteúdo envolve definição de conjunto das partes (power set) e partição de um conjunto (família de subconjuntos não vazios, disjuntos dois a dois, cuja união é o conjunto todo).

Passo 2

Para a) lembramos que, se A tem 3 elementos, então seu conjunto das partes \mathcal{P}(A) tem 2^3=8 subconjuntos. São justamente todos os subconjuntos de A, desde o vazio até A inteiro.

Passo 3

Para b) lembramos que uma partição de A é um conjunto \mathcal{C} de subconjuntos tais que:
  1. nenhum subconjunto de \mathcal{C} é vazio;
  2. são dois a dois disjuntos;
  3. a união de todos eles é A.
    Basta então dar três famílias diferentes que satisfaçam isso.

Resposta

a)
\mathcal{P}(A) = \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.
b) Três partições possíveis de A são
\{\{1\},\{2\},\{3\}\}, \quad \{\{1,2\},\{3\}\}, \quad \{\{1,3\},\{2\}\}.

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