Dado os conjuntos A=\{x \mid x é um número primo e 1<x<10\} e B= \{1,3,5,7\}. Descreva:
a) O conjunto resultante da união de A e B e três partições do conjunto resultante.
b) O conjunto resultante da interseção de A e B e o conjunto das partes do conjunto resultante.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos \displaystyle A=\{x\mid x é primo e 1<x<10\} e \displaystyle B=\{1,3,5,7\}.
O conteúdo aqui é operações com conjuntos: união, partição, interseção e conjunto das partes (power set).

Passo 2

Primeiro, listamos explicitamente
A=\{2,3,5,7\},\quad B=\{1,3,5,7\}.
A união é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em B. Assim,
A\cup B=\{1,2,3,5,7\}.

Passo 3

Uma partição de um conjunto é uma coleção de subconjuntos não-vazios, disjuntos entre si, cuja união é o próprio conjunto. Três exemplos de partições de \{1,2,3,5,7\} são:
1.
\bigl\{\{1\},\{2,3\},\{5,7\}\bigr\}
2.
\bigl\{\{1,2\},\{3\},\{5,7\}\bigr\}
3.
\bigl\{\{1,7\},\{2,5\},\{3\}\bigr\}

Passo 4

Agora, a interseção é o conjunto dos elementos comuns a A e B:
A\cap B=\{3,5,7\}.

Passo 5

O conjunto das partes de \{3,5,7\}, denotado \mathcal P(\{3,5,7\}), é o conjunto de todos os seus subconjuntos. Como \{3,5,7\} tem 3 elementos, há 2^3=8 subconjuntos:
\mathcal P(\{3,5,7\})=\bigl\{\, \emptyset,\;\{3\},\;\{5\},\;\{7\},\;\{3,5\},\;\{3,7\},\;\{5,7\},\;\{3,5,7\} \bigr\}.

Resposta

a) \displaystyle A\cup B=\{1,2,3,5,7\}. Três partições possíveis:
\{\{1\},\{2,3\},\{5,7\}\},\quad \{\{1,2\},\{3\},\{5,7\}\},\quad \{\{1,7\},\{2,5\},\{3\}\}.
b) \displaystyle A\cap B=\{3,5,7\}. \displaystyle \mathcal P(\{3,5,7\})=\{\emptyset,\{3\},\{5\},\{7\},\{3,5\},\{3,7\},\{5,7\},\{3,5,7\}\}.

Exercícios relacionados