5^a ) Seja V=M2(R) verifique se S=(ll1 & 2 3 & 4),(ll5 & 6 7 & 8),(ll17 & 22 27 & 32) subset V é L.I. ou L.D.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = A=1 & 23 & 4,;B=5 & 67 & 8,;C=17 & 2227 & 32
em V=M2(R) é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). O conteúdo é independência linear em espaços vetoriais, e vamos usar combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gammainR tais que
alpha A + beta B + gamma C = 0 & 00 & 0
Isso gera o sistema de equações pelas entradas:
alphacdot1 + betacdot5 + gammacdot17 = 0, alphacdot2 + betacdot6 + gammacdot22 = 0, alphacdot3 + betacdot7 + gammacdot27 = 0, alphacdot4 + betacdot8 + gammacdot32 = 0

Passo 3

Em vez de resolver tudo de uma vez, vejamos se C pode ser escrito como combinação de A e B. Buscamos mu,nu tais que
mu A + nu B = C
Das entradas (1,1) e (1,2) obtém-se
mu + 5nu = 17, 2mu + 6nu = 22
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da segunda:
2mu+10nu - (2mu+6nu)=34-22;Longrightarrow;4nu=12;Longrightarrow;nu=3,
logo mu=17-5cdot3=2. Verificando nas demais entradas, coincide:
3cdot2 +7cdot3 =27, 4cdot2+8cdot3=32

Passo 4

Achamos C = 2A + 3B. Portanto existe relação não trivial
2A + 3B -1cdot C = 0,
com coeficientes (2,3,-1)neq(0,0,0). Logo S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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