5^a ) Seja V=M2(R) verifique se S=(ll1 & 2 3 & 4),(ll5 & 6 7 & 8),(ll17 & 22 27 & 32) subset V é L.I. ou L.D. Passo 1O enunciado pede para verificar se o conjunto S = A=1 & 23 & 4,;B=5 & 67 & 8,;C=17 & 2227 & 32 em V=M2(R) é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). O conteúdo é independência linear em espaços vetoriais, e vamos usar combinação linear e sistemas de equações. Passo 2Suponha que existam escalares alpha,beta,gammainR tais que alpha A + beta B + gamma C = 0 & 00 & 0 Isso gera o sistema de equações pelas entradas: alphacdot1 + betacdot5 + gammacdot17 = 0, alphacdot2 + betacdot6 + gammacdot22 = 0, alphacdot3 + betacdot7 + gammacdot27 = 0, alphacdot4 + betacdot8 + gammacdot32 = 0 Passo 3Em vez de resolver tudo de uma vez, vejamos se C pode ser escrito como combinação de A e B. Buscamos mu,nu tais que mu A + nu B = C Das entradas (1,1) e (1,2) obtém-se mu + 5nu = 17, 2mu + 6nu = 22 Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da segunda: 2mu+10nu - (2mu+6nu)=34-22;Longrightarrow;4nu=12;Longrightarrow;nu=3, logo mu=17-5cdot3=2. Verificando nas demais entradas, coincide: 3cdot2 +7cdot3 =27, 4cdot2+8cdot3=32 Passo 4Achamos C = 2A + 3B. Portanto existe relação não trivial 2A + 3B -1cdot C = 0, com coeficientes (2,3,-1)neq(0,0,0). Logo S é linearmente dependente. RespostaO conjunto S é linearmente dependente. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados 3^ a ) Seja U=[t^3+4 t^2-t+3, t^3+5 t^2+5,3 t^3] e W=[t^3+4 t^2, t-1,1] subespaços de P3(R) encontre geradores para U cap W e U+W. E conclua se a soma U+W é direta ou não. Determine o núcleo e a imagem da transformação linear T: P3 longrightarrow P2 dada por T(p(x))=p^prime(x) (derivada de um polinômio). Encontre uma base de N(T) e Im(T). 6³) Seja f, g in V=C^1((a, b) ; R), conjunto das funções de classe C^1 com domínio (a, b) subset R e contradomínio real. Mostre que se existir x in(a, b) tal que f(x) g^prime(x) neq f^prime(x) g(x) então f e g são linearmente independentes.