Seja f(x)=x^34-sen(pi x)+3. A função f atinge o valor 73 no intervalo [-2,2] ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para saber se a função f(x)=x^34-sin(pi x)+3 atinge o valor tfrac73 no intervalo [-2,2]. O conteúdo principal que vamos usar é continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para funções contínuas.

Passo 2

Observamos que polinômios e a função seno são contínuos em todo R. Como f é soma de um polinômio com -sin(pi x) e uma constante, concluímos que f é contínua em [-2,2].

Passo 3

Vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo. Primeiro,
f(-2)=(-2)^34-sin(picdot(-2))+3=-84-sin(-2pi)+3=-2-0+3=1
Em seguida,
f(2)=2^34-sin(picdot2)+3=84-sin(2pi)+3=2-0+3=5

Passo 4

Como 1, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c em (-2,2) tal que f(c)=tfrac73.

Resposta

Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(-2,2) tal que f(c)=tfrac73.

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