Verifique se as seguintes funções são contínuas.
f) y=f(x)=e^tg(x)-1e^tg(x)+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(x)=e^tan(x)-1e^tan(x)+1
O conteúdo aqui é continuidade de funções obtidas por composição e operações algébricas; vamos usar que se cada parte é contínua e o denominador não zera, a função resultante é contínua.

Passo 2

Primeiro vamos determinar o domínio de f. Como aparece tan(x), precisamos de cos(x)neq0. Logo o domínio é
D=xin R:cos(x)neq0= Rsetminusllbracetfracpi2+kpi:kin Zrrbrace

Passo 3

Em seguida, observamos que tan(x) é contínua em todo ponto de seu domínio. A função e^u é contínua para todo u, e as operações de soma, subtração e divisão (quando o denominador não é zero) preservam continuidade. Assim, a composição
xmapstotan(x)mapsto e^tan(x)mapsto e^tan(x)-1mapsto e^tan(x)+1mapstoe^tan(x)-1e^tan(x)+1
é contínua sempre que definida.

Passo 4

Por fim, precisamos garantir que o denominador nunca zere em seu domínio. Como e^tan(x)>0 para todo x, temos
e^tan(x)+1>0+1=1>0,
ou seja, o denominador nunca é zero. Portanto não surgem descontinuidades extras além daquelas já causadas pelo domínio de tan(x).

Resposta

A função f(x) é contínua para todo x tal que cos(x)neq0, isto é, em
Rsetminusllbracetfracpi2+kpi:kin Zrrbrace

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