Determine o valor de
para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
e)
, no ponto
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para qualquer valor de $ x $ diferente de zero, e outra para $ x = 0 $. O objetivo é encontrar o valor de $ L $ que faz a função ser contínua no ponto $ x = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade, explicando passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua no ponto $ x = 0 $. Continuidadade aqui quer dizer que o valor da função em $ x = 0 $ ($ L $) precisa ser igual ao limite da função quando $ x $ se aproxima de zero.
Matematicamente, isso é representado por:
Então, nosso próximo passo é calcular esse limite.
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
Para resolver esse limite, podemos lembrar de uma regra conhecida de limites, que é:
Essa propriedade vem do desenvolvimento da série de Taylor para $ e^x $, onde o termo linear domina perto de zero.
Passo 4
Agora que sabemos que:
E, para a função ser contínua em $ x = 0 $, temos que:
Portanto, o valor de $ L $ que garante a continuidade da função no ponto $ x = 0 $ é 1.
Resposta
O valor de $ L $ que torna a função contínua em $ x = 0 $ é $ L = 1 $.