Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
e) y=f(x)=lle^x-1x & se x neq 0 L & se x=0, no ponto x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para qualquer valor de $ x $ diferente de zero, e outra para $ x = 0 $. O objetivo é encontrar o valor de $ L $ que faz a função ser contínua no ponto $ x = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade, explicando passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua no ponto $ x = 0 $. Continuidadade aqui quer dizer que o valor da função em $ x = 0 $ ($ L $) precisa ser igual ao limite da função quando $ x $ se aproxima de zero.
Matematicamente, isso é representado por:
x = 0
Então, nosso próximo passo é calcular esse limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
f(x)
Para resolver esse limite, podemos lembrar de uma regra conhecida de limites, que é:
x
Essa propriedade vem do desenvolvimento da série de Taylor para $ e^x $, onde o termo linear domina perto de zero.

Passo 4

Agora que sabemos que:
limx to 0 e^x - 1x = 1
E, para a função ser contínua em $ x = 0 $, temos que:
x = 0
Portanto, o valor de $ L $ que garante a continuidade da função no ponto $ x = 0 $ é 1.

Resposta

O valor de $ L $ que torna a função contínua em $ x = 0 $ é $ L = 1 $.

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