Esboce o gráfico.
Passo 1
A função dada é
. O conteúdo é análise de funções racionais e esboço de gráfico: vamos precisar estudar domínio, limites (assíntotas), derivada (monotonicidade e extremos) e segunda derivada (concavidade e pontos de inflexão).
Passo 2
O domínio é
. Estudando limites para achar assíntotas:
logo há assíntota vertical em
.
E
E
logo há assíntota horizontal em
.
Passo 3
Derivando para ver monotonicidade e extremos:
Temos
em
(único ponto crítico no domínio).
Analisando sinal de :
Analisando sinal de
- Para
: numerador >0 e ⇒ , função decrescente. - Para
: numerador >0 e ⇒ , função crescente. - Para
: numerador <0 e ⇒ , função decrescente.
Logo, emhá um máximo local com .
Passo 4
Derivando de novo para concavidade e inflexão:
Temos
em
. Como
sempre,
- Para
(inclusive até 0 e depois >0): ⇒ (côncavo para cima). - Para
: ⇒ (côncavo para baixo).
Então há ponto de inflexão em, com .
Passo 5
Agora juntamos tudo para esboçar:
- Dois ramos separados pela assíntota vertical
. - Em
: começa em quando , decresce côncavo para baixo até (inflexão em ), continua decrescendo côncavo para cima até o máximo local em , depois cresce até perto de . - Em
: sai de em e decresce sempre côncavo para cima rumo à assíntota quando .
Resposta
O gráfico tem duas partes separadas por assíntota vertical em
e assíntota horizontal em
. Há um máximo local em
e um ponto de inflexão em
. Para
o ramo cruza a região entre as assíntotas com mudança de concavidade em
, atinge pico em
e vai a +∞ em
. Para
o ramo parte de +∞ em
, decresce sempre côncavo para cima e se aproxima de
quando
.