Esboce o gráfico.
f(x)=1+1x+1x^2

Passo 1

A função dada é f(x)=1+1x+1x^2. O conteúdo é análise de funções racionais e esboço de gráfico: vamos precisar estudar domínio, limites (assíntotas), derivada (monotonicidade e extremos) e segunda derivada (concavidade e pontos de inflexão).

Passo 2

O domínio é Rsetminus0. Estudando limites para achar assíntotas:
limxto0^pmf(x)=limxto0^pml(1+1x+1x^2r)=+infty,
logo há assíntota vertical em x=0.
E
limxtopminftyf(x)=1,
logo há assíntota horizontal em y=1.

Passo 3

Derivando para ver monotonicidade e extremos:
f'(x)=ddxl(1+x^-1+x^-2r)=-x^-2-2x^-3=-x+2x^3
Temos f'(x)=0 em x=-2 (único ponto crítico no domínio).
Analisando sinal de f'(x):
  • Para x>-2>0: numerador >0 e x^3>0 f'<0, função decrescente.
  • Para -2: numerador >0 e x^3<0 f'>0, função crescente.
  • Para x<-2: numerador <0 e x^3<0 f'<0, função decrescente.
    Logo, em x=-2 há um máximo local com f(-2)=1-tfrac12+tfrac14=tfrac34.

Passo 4

Derivando de novo para concavidade e inflexão:
f''(x)=ddxl(-x^-2-2x^-3r)=2x^-3+6x^-4=2(x+3)x^4
Temos f''(x)=0 em x=-3. Como x^4>0 sempre,
  • Para x>-3 (inclusive até 0 e depois >0): x+3>0 f''>0 (côncavo para cima).
  • Para x<-3: x+3<0 f''<0 (côncavo para baixo).
    Então há ponto de inflexão em x=-3, com f(-3)=1-tfrac13+tfrac19=tfrac79.

Passo 5

Agora juntamos tudo para esboçar:
  • Dois ramos separados pela assíntota vertical x=0.
  • Em x<0: começa em yto1^+ quando xto-infty, decresce côncavo para baixo até x=-3 (inflexão em (-3,7/9)), continua decrescendo côncavo para cima até o máximo local em (-2,3/4), depois cresce até +infty perto de x=0^-.
  • Em x>0: sai de +infty em x=0^+ e decresce sempre côncavo para cima rumo à assíntota y=1 quando xto+infty.

Resposta

O gráfico tem duas partes separadas por assíntota vertical em x=0 e assíntota horizontal em y=1. Há um máximo local em (-2,3/4) e um ponto de inflexão em (-3,7/9). Para x<0 o ramo cruza a região entre as assíntotas com mudança de concavidade em x=-3, atinge pico em x=-2 e vai a +∞ em 0^-. Para x>0 o ramo parte de +∞ em 0^+, decresce sempre côncavo para cima e se aproxima de y=1 quando xto+infty.

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