Seja x in R tal que raiz[3]13 x+37-raiz[3]13 x-37=raiz[3]2. Determine os possíveis valores para x.
(Resp: x= pm 7 )

Passo 1

Neste exercício vamos resolver a equação raiz[3]13x+37-raiz[3]13x-37=raiz[3]2 usando identidades de soma e diferença de cubos.

Passo 2

Sejam a=raiz[3]13x+37, b=raiz[3]13x-37 e c=raiz[3]2. Então a equação fica a-b=c, com a^3=13x+37 e b^3=13x-37.

Passo 3

Usamos a identidade da diferença de cubos:
c^3=(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)

Passo 4

Substituindo c^3=2, a^3-b^3=(13x+37)-(13x-37)=74 e a-b=c, obtemos
2=74-3ab,cimplies3c,ab=72implies ab=24c

Passo 5

Como ab=raiz[3](13x+37)(13x-37)=raiz[3]169x^2-1369, temos
raiz[3]169x^2-1369=24raiz[3]2

Passo 6

Elevando ambos os lados ao cubo:
169x^2-1369=24^32=6912implies169x^2=8281implies x^2=49

Passo 7

Logo as soluções são x=7 ou x=-7, e uma verificação rápida mostra que ambas satisfazem a equação original.

Resposta

x=pm7

Exercícios relacionados