Seja
. Seja
definida por
Mostre que
existe.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto $ B $, que é basicamente o disco unitário no plano, definido por todos os pontos
que satisfazem
. A função $ g(x, y) $ é dada por:
O desafio aqui é mostrar que a integral dupla de $ \frac{x^{2} y{3}}{x{2}+y^{2}} $ sobre o conjunto $ B $ existe. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral múltiplo e transformar coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que queremos integrar: $ \frac{x^{2} y{3}}{x{2}+y^{2}} $. Observamos que o denominador
é sempre positivo dentro de $ B $, exceto no ponto
, onde definimos a função como zero. Queremos garantir que essa função não cause problemas como divisões por zero ou crescimentos infinitos dentro do domínio de integração.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Essa mudança de coordenadas simplifica a região de integração, que agora será $ r $ de 0 a 1 e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.
Passo 4
Vamos substituir $ x $ e $ y $ na função:
Agora, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral em $ r $ primeiro:
Então, a integral total fica:
Passo 6
Agora, precisamos resolver $ \int_{0}^{2\pi} \cos^{2} \theta \sin^{3} \theta , d\theta $. Observe que $ \sin^{3} \theta $ é uma função ímpar em relação a $ \theta = \pi $ e $ \cos^{2} \theta $ é uma função par. O produto de uma função par e ímpar é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico como $ [0, 2\pi] $ é zero.
Portanto:
Resposta
A integral dupla $ \iint_{B} \frac{x^{2} y{3}}{x{2}+y^{2}} dx,dy $ existe e é igual a zero.