Seja g: B R. Seja g(x, y)= x^2 y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) definida por
integral duplaB x^2 y^3x^2+y^2 d x d y
Mostre que existe.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto $ B $, que é basicamente o disco unitário no plano, definido por todos os pontos B que satisfazem (x, y). A função $ g(x, y) $ é dada por:
x^2 + y^2 <= 1
O desafio aqui é mostrar que a integral dupla de $ \frac{x^{2} y{3}}{x{2}+y^{2}} $ sobre o conjunto $ B $ existe. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral múltiplo e transformar coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que queremos integrar: $ \frac{x^{2} y{3}}{x{2}+y^{2}} $. Observamos que o denominador x^2 y^3x^2+y^2 é sempre positivo dentro de $ B $, exceto no ponto x^2 + y^2, onde definimos a função como zero. Queremos garantir que essa função não cause problemas como divisões por zero ou crescimentos infinitos dentro do domínio de integração.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta e y = r sin theta
x^2 + y^2 = r^2
dx,dy = r,dr,dtheta
Essa mudança de coordenadas simplifica a região de integração, que agora será $ r $ de 0 a 1 e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.

Passo 4

Vamos substituir $ x $ e $ y $ na função:
x
Agora, a integral dupla fica:
y

Passo 5

Vamos calcular a integral em $ r $ primeiro:
r
Então, a integral total fica:
integral0^1 r^4 dr = r^55 |0^1 = 15

Passo 6

Agora, precisamos resolver $ \int_{0}^{2\pi} \cos^{2} \theta \sin^{3} \theta , d\theta $. Observe que $ \sin^{3} \theta $ é uma função ímpar em relação a $ \theta = \pi $ e $ \cos^{2} \theta $ é uma função par. O produto de uma função par e ímpar é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico como $ [0, 2\pi] $ é zero.
Portanto:
integral0^2pi cos^2 theta sin^3 theta , dtheta

Resposta

A integral dupla $ \iint_{B} \frac{x^{2} y{3}}{x{2}+y^{2}} dx,dy $ existe e é igual a zero.

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