Seja
. Seja
definida por
Mostre que
existe e conclua que
também existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a integral dupla de $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ sobre o conjunto $ B $, que é o disco de raio 1 no plano, existe. Após isso, temos que concluir que a integral dupla da função $ g(x, y) $ também existe. Vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades de funções contínuas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral de $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ sobre $ B $. Observamos que essa função está definida para todos os pontos de $ B $ exceto no ponto (0,0), onde é indefinida. Mas, vamos verificar se a integral existe mesmo com essa possível descontinuidade.
Passo 3
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Em coordenadas polares, a integral dupla se transforma em:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a $ r $ primeiro:
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Sabemos que $ \cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} $. Substituindo na integral:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Sabemos que $ \int_{0}^{2\pi} \cos 2\theta d\theta = 0 $, então:
Passo 8
Portanto, a integral dupla de $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ sobre $ B $ existe e é igual a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 9
Agora, consideramos a função $ g(x, y) $, que é igual a $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ exceto em (0,0), onde é 0. Como a integral de $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ existe e o ponto (0,0) é de medida zero, a integral de $ g(x, y) $ também existe e é igual a $ \frac{\pi}{2} $.
Resposta
A integral dupla de $ g(x, y) $ sobre $ B $ existe e seu valor é $ \frac{\pi}{2} $.