Seja g: B R. Seja g(x, y)= x^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) definida por
integral duplaB x^2x^2+y^2 d x d y
Mostre que integral duplaB g(x, y) d x d y existe e conclua que também existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a integral dupla de $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ sobre o conjunto $ B $, que é o disco de raio 1 no plano, existe. Após isso, temos que concluir que a integral dupla da função $ g(x, y) $ também existe. Vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades de funções contínuas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral de $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ sobre $ B $. Observamos que essa função está definida para todos os pontos de $ B $ exceto no ponto (0,0), onde é indefinida. Mas, vamos verificar se a integral existe mesmo com essa possível descontinuidade.

Passo 3

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Em coordenadas polares, a integral dupla se transforma em:
x = r cos theta

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
(r cos theta)^2r^2 = cos^2 theta
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 cos^2 theta cdot r dr dtheta

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a $ r $ primeiro:
r
Portanto, a integral se torna:
integral0^1 r dr = [ r^22 ]0^1 = 12

Passo 6

Sabemos que $ \cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} $. Substituindo na integral:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2

Passo 7

Integrando termo a termo:
14 [ integral0^2pi 1 dtheta + integral0^2pi cos 2theta dtheta ]
Sabemos que $ \int_{0}^{2\pi} \cos 2\theta d\theta = 0 $, então:
integral0^2pi cos 2theta dtheta = 0

Passo 8

Portanto, a integral dupla de $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ sobre $ B $ existe e é igual a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 9

Agora, consideramos a função $ g(x, y) $, que é igual a $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ exceto em (0,0), onde é 0. Como a integral de $ \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ existe e o ponto (0,0) é de medida zero, a integral de $ g(x, y) $ também existe e é igual a $ \frac{\pi}{2} $.

Resposta

A integral dupla de $ g(x, y) $ sobre $ B $ existe e seu valor é $ \frac{\pi}{2} $.

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